已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 斜率为12的动直线l与椭圆交于A,B两点，在平面上是否存在定点P，使得当直线PA与直线PB的斜率均存在时，斜率之和是与l无关的常数?若存在，求出所有满足条件的定点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析与解 (1) 根据题意，通径长2b2a=3，于是椭圆的方程为x24+y23=1．
(2) 法一 仿射变换
利用仿射变换．设定点P的坐标为(m,n)，平移坐标系，使P点为坐标原点，则椭圆方程变为(x′+m)24+(y′+n)23=1.
当l不过点P′时，设动直线的方程为t(x′−2y′)=1，则联立直线与椭圆方程，有14x′2+13y′2+(m2x′+2n3y′)⋅t(x′−2y′)+(14m2+13n2−1)⋅t2(x′−2y′)2=0,
整理得y′2的系数为13−4n3t+(14m2+13n2−1)⋅4t2,
而x′y′的系数为(2n3−m)t−(14m2+13n2−1)⋅4t2,
根据题意，直线P′A′与直线P′B′的斜率之和−(2n3−m)t−(14m2+13n2−1)⋅4t213−4n3t+(14m2+13n2−1)⋅4t2
为定值．于是2n3−m=14m2+13n2−1=0,
解得m=1，n=32或m=−1，n=−32．对应的P点在椭圆上，于是不需要考虑l过点P的情形．
综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为(1,32)或(−1,−32)．
注 可以将椭圆仿射为圆，则直线A′B′的斜率为√33，于是点Q′(−1,√3)始终平分弧A′B′，进而可取P′(1,√3)，此时∠A′P′Q′=∠B′P′Q′，因此直线P′A′与直线P′B′的斜率始终互为相反数，符合题意．
法二 直接计算
设l:y=12x+t，与椭圆方程联立得x2+tx+t2−3=0.
设A(x1,12x1+t),B(x2,12x2+t)，则有x1+x2=−t,x1x2=t2−3.
直线PA,PB的斜率之和kPA+kPB=(m−12x1−t)(m−x2)+(n−12x2−t)(m−x1)(m−x1)(m−x2)=(n−32m)t+2mn−3t2+mt+m2−3.
当n=32m,2mn=3时斜率的和恒为0，解得{m=1,n=32.∨{m=−1,n=−32.
综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为(1,32)或(−1,−32)．