函数奇偶性的关键招

奇偶性揭示的是一对互为相反数的自变量，对应的函数值的关系．所以解决奇偶性问题的关键就是紧紧抓住互为相反数的自变量；同时因为$0$的相反数是自身，所以对奇函数来说，如果$f(0)$存在，则有$f(0)=0$，这也是需要特别注意的点．

要判断一个函数的奇偶性，有以下步骤：

先考虑定义域是否关于原点对称：若不对称，则不具有奇偶性；
若定义域关于原点对称，那么在定义域内取一对互为相反数的自变量$a,-a$（怎么好算怎么取，奇函数优先考虑$f(0)$），计算$f(a),f(-a)$的值：
①若$f(a)$与$f(-a)$既不相等也不互为相反数，则没有奇偶性；
②若$f(a)=f(-a)$，尝试证明$f(x)$是偶函数；
    若$f(a)=-f(-a)$，尝试证明$f(x)$是奇函数．
注意：如果已知函数的奇偶性，求参数的值．步骤同上，只是我们得到的是$f(a)$与$f(-a)$的关系式，去求解参数，最后验证．

比如：若函数$f(x)=-\dfrac {x+a}{bx+1}$是奇函数，求$a,b$．
解　我们由自变量的限制条件$bx\ne -1$得到$b=0$，否则$x\ne-\dfrac 1b$不关于原点对称，从而$f(x)=-x-a$，而奇函数满足$f(0)=0$，所以$a=0$．

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例题一　判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=(x-1)\sqrt{\dfrac {1+x}{1-x}}$；
(2)$g(x)=\begin{cases} x^2-x+1,x>0,\\x^2+x+1,x<0;\end{cases} $
(3)$h(x)=\lg(x+\sqrt{1+x^2})$；
(4)$l(x)=|x-1|-2|x+1|+|x|$．

分析与解　(1)因为$f(x)$在$x=-1$处有定义，在$x=1$处没有，所以是非奇非偶函数；
(2)因为$g(1)=1=g(-1)$，所以$g(x)$可能为偶函数，对任意的$x>0$，有$-x<0$，从而$$g(-x)=(-x)^2-x+1=g(x),$$所以$g(x)$是偶函数；
(3)函数定义域为$\mathcal{R}$，计算知$$h(1)=\lg(\sqrt 2+1),h(-1)=\lg(\sqrt 2-1),$$有$h(1)+h(-1)=0$，所以尝试证明$h(x)$为奇函数，即计算$$h(x)+h(-x)=\lg(x+\sqrt{x^2+1})+\lg(-x+\sqrt{x^2+1})=\lg 1=0,$$所以$h(x)$为奇函数．
(4)函数定义域为$\mathcal{R}$，计算$l(1)=-3,l(-1)=3$，猜测$l(x)$为奇函数．但$l(0)=-1\ne 0$，所以$l(x)$是非奇非偶函数．
注意：取一对互为相反数的自变量只是辅助手段，不能代替证明．

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练习一　判断下列函数的奇偶性：
(1)$y=|x-1|+|x+1|-|x|$；
(2)$y=\lg{\dfrac {2+x}{2-x}}$；
(3)$y=\dfrac {2^x+1}{2^x-1}$．

答案　(1)偶；(2)奇；(3)奇．

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例题二　已知函数奇偶性求参数：
(1)已知函数$f(x)=x\ln(x+\sqrt{x^2+a})$为偶函数，则实数$a=$______；
(2)已知$f(x)=\dfrac {x+a}{x^2+bx+1}$在$[-1,1]$上为奇函数，则$f\left(\dfrac 12\right)=$______；
(3)已知函数$f(x)=\begin{cases} x^2-x,x\leqslant 0,\\ax^2+bx,x>0\end{cases} $为奇函数，则$a+b=$______；
(4)若函数$f(x)=(x+a)\cdot 3^{x-2+a^2}-(x-a)\cdot 3^{8-x-3a}$为偶函数，则所有实数$a$的取值构成的集合为___________．

分析与解　(1)由$f(x)$为偶函数知$f(1)=f(-1)$，即$$\ln(1+\sqrt{a+1})=-\ln(-1+\sqrt{1+a}),$$解得$a=1$．事实上，$f(x)$为偶函数，则$y=\ln(x+\sqrt{x^2+a})$为奇函数，则$y(0)=0$即可得到$a=1$．
(2)由$f(0)=0$知$a=0$，从而分母是偶函数，故$b=0$，从而有$$f(x)=\dfrac {x}{x^2+1},f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 25.$$(3)由$f(x)$为奇函数知$$a+b=f(1)=-f(-1)=-2.$$(4)考虑$f(a)=f(-a)$得$$2a\cdot 3^{a^2+a-2}=2a\cdot 3^{8-2a},$$解得$a=0$或$a^2+a-2=8-2a$，从而有$a=0,2,-5$，逐个验证知$a=0$不符合题意，所以$a$的取值集合为$\{2,-5\}$．

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练习二　(1)已知函数$f(x)=\dfrac {x^2}{(2x+1)(x+a)}$的图象关于$y$轴对称，则$a=$______；
(2)已知$f(x)=\dfrac {a(2^x+1)-2}{2^x+1}$是奇函数，那么实数$a=$________；
(3)设定义在区间$(-b,b)$上的函数$f(x)=\lg\dfrac{1+ax}{1-2x}$是奇函数，则$ab$的取值范围是_________．

答案　(1)$-\dfrac 12$(考虑定义域)；
(2)$1$(考虑$f(0)$)；
(3)$\left(0,1\right]$($a=2,0<b\leqslant \dfrac 12$)．

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抽象函数的奇偶性问题关键也是抓住一对互为相反数的自变量．

例题三　(1)已知$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的奇函数，对任意的$x\in\mathcal{R}$都有$f(x+2)=f(x)+f(1)$成立，则$f(2017)=$_______；
(2)已知不恒为零的函数$f(x)$对任意实数$x,y$都满足$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]$，则$f(x)$是（　　）
A．偶函数
B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数

分析与解　(1)我们想利用函数方程$f(x+2)=f(x)+f(1)$求出特殊点的函数值，由奇函数的性质我们希望$x+2,x$是互为相反数，即$$x+2+x=0\Rightarrow x=-1,$$此时有$$f(1)=f(-1)+f(1)\Rightarrow f(-1)=0\Rightarrow f(1)=0,$$从而有$f(x+2)=f(x)$，所以$f(2017)=f(1)=0$．
(2)想得到一对互为相反数的自变量的函数值关系，在函数方程中令$x=0$，有$f(y)+f(-y)=2[f(0)+f(y)]$，于是有$$f(-y)-f(y)=2f(0);$$进一步想计算$f(0)$的值，令$y=0$即可得到$f(0)=0$，从而有$f(-y)=f(y)$，$f(x)$是偶函数．A正确．
注意，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则它的值域一定为$\{0\}$，因为有$$f(-x)=f(x)=-f(x)\Rightarrow f(x)=0.$$

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练习三　(1)已知偶函数$f(x)$满足$f(x+2)=xf(x)(x\in\mathcal{R})$，则$f(1)=$______；
(2)已知不恒为零的函数$f(x)$对任意实数$x,y$都满足$f(x)+f(y)=2f\left(\dfrac {x+y}{2}\cdot\dfrac {x-y}{2}\right)$，则$f(x)$是（　　）
A．偶函数
B．奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数

答案　(1)$0$；
(2)A．分别令$y=x,y=-x$．

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还有一类问题是给出函数的具体解析式，需要我们通过解析式发现函数的奇偶性（或是对称性），再通过这些性质直接得到相关的结论．

例题四　(1)函数$f(x)=ax^3+bx-8$在区间$[0,2]$上有最大值$10$，则函数$f(x)$在区间$[-2,0]$上有（　　）
A．最小值$-10$
B．最大值$-10$
C．最小值$-26$
D．最大值$-26$
(2)设函数$g(x)=\dfrac {(x+1)^2+2x}{x^2+1}$的最大值为$M$，最小值为$m$，则$M+m=$______．

分析与解　(1)$g(x)=f(x)+8$是一个奇函数，它在区间$[0,2]$上最大值为$18$，可以借助奇函数的草图得到$g(x)$在$[-2,0]$上有最小值$-18$，从而$f(x)$在$[-2,0]$上有最小值$-26$．
也可以由最值的定义去推导：不妨设$g(x_0)=18,x_0\in[0,2]$，则有$$\forall x\in[0,2],g(x)\leqslant g(x_0).$$由奇函数的性质知$$\begin{split} &g(-x_0)=-18,\\&\forall x\in[-2,0],g(x)=-g(-x)\geqslant -g(x_0)=g(-x_0).\end{split} $$所以$g(x)$在$[-2,0]$上有最小值$-18$，从而$f(x)=g(x)-8$有最小值$-26$．选项D正确．
事实上，由奇函数的图象关于原点对称知，任意一个奇函数如果存在最值，则最大值与最小值的和为$0$．

(2)因为$g(x)=1+\dfrac {4x}{x^2+1}$，所以$g(x)-1$是奇函数，从而有$$(M-1)+(m-1)=0\Rightarrow M+m=2.$$

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练习四　(1)如果奇函数$f(x)$在$[3,7]$上是增函数且最小值为$5$，那么$f(x)$在区间$[-7,-3]$上是（　　）
A．增函数且最小值为$-5$
B．减函数且最小值为$-5$
C．增函数且最大值为$-5$
D．减函数且最大值为$-5$
(2)若函数$f(x)=x^5+x^3-x+2$在区间$[-k,k](k>0)$上的值域为$[m,n]$，则$m+n=$______．

答案　(1)C．(2)$4$．