每日一题[78] 对数函数的齐次化构造

已知$f(x)=\ln x-\dfrac 1x$与$g(x)=ax$交于两点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，求证：$x_1x_2>2{\mathrm e}^2$．

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根据题意有

$$\begin{split}\ln x_1-\dfrac{1}{x_1}&=ax_1,\\\ln x_2-\dfrac{1}{x_2}&=ax_2,\end{split}$$ 两式分别相加、相减可得 $$\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=a\left(x_1+x_2\right),\\\ln\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}=a\left(x_1-x_2\right).$$ 进而消去$a$，有 $$\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\cdot\ln\dfrac{x_1}{x_2}.$$

对于右边，我们熟知对数函数的一个重要放缩

$$\forall x>1,\ln x >2\cdot\dfrac{x-1}{x+1},$$ 不妨假设$\dfrac{x_1}{x_2}>1$，应用于上式，有 $$\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>2.$$

对于左边，应用均值不等式，有

$$\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}<\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{x_1x_2}}.$$

综合以上两式可得

$$\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{x_1x_2}}>2,$$

由于

$$\ln\left(2{\mathrm e}^2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{2{\mathrm e}^2}}=2+\ln 2-\dfrac{2\sqrt 2}{\mathrm e}<2,$$ 而函数$y=\ln x-\dfrac{4}{\sqrt x}$为$\mathcal R^+$上的单调递增函数，因此$x_1x_2>2{\mathrm e}^2$，原命题得证．

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下面给出一道练习题：

（2010年·天津·理）已知函数$f(x)=x{\mathrm e}^{-x}$，函数$y=g(x)$与函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=1$对称．

（1）证明：当$x>1$时，$f(x)>g(x)$；

（2）如果$x_1\neq x_2$且$f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1+x_2>2$．

提示    （2）不难得到

$$\ln\dfrac{x_1}{x_2}=x_1-x_2,$$ 于是 $$x_1+x_2=\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\cdot\ln\dfrac{x_1}{x_2}.$$ 以下略．