每日一题[78] 对数函数的齐次化构造

已知\(f(x)=\ln x-\dfrac 1x\)与\(g(x)=ax\)交于两点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，求证：\(x_1x_2>2{\mathrm e}^2\)．

根据题意有\[\begin{split}\ln x_1-\dfrac{1}{x_1}&=ax_1,\\\ln x_2-\dfrac{1}{x_2}&=ax_2,\end{split}\]两式分别相加、相减可得\[\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=a\left(x_1+x_2\right),\\\ln\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}=a\left(x_1-x_2\right).\]进而消去\(a\)，有\[\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\cdot\ln\dfrac{x_1}{x_2}.\]

对于右边，我们熟知对数函数的一个重要放缩\[\forall x>1,\ln x >2\cdot\dfrac{x-1}{x+1},\]不妨假设\(\dfrac{x_1}{x_2}>1\)，应用于上式，有\[\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>2.\]

对于左边，应用均值不等式，有\[\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}<\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{x_1x_2}}.\]

综合以上两式可得\[\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{x_1x_2}}>2,\]

由于\[\ln\left(2{\mathrm e}^2\right)-\dfrac{4}{\sqrt{2{\mathrm e}^2}}=2+\ln 2-\dfrac{2\sqrt 2}{\mathrm e}<2,\]而函数\(y=\ln x-\dfrac{4}{\sqrt x}\)为\(\mathcal R^+\)上的单调递增函数，因此\(x_1x_2>2{\mathrm e}^2\)，原命题得证．

下面给出一道练习题：

（2010年·天津·理）已知函数\(f(x)=x{\mathrm e}^{-x}\)，函数\(y=g(x)\)与函数\(y=f(x)\)的图象关于直线\(x=1\)对称．

（1）证明：当\(x>1\)时，\(f(x)>g(x)\)；

（2）如果\(x_1\neq x_2\)且\(f(x_1)=f(x_2)\)，证明：\(x_1+x_2>2\)．

提示    （2）不难得到\[\ln\dfrac{x_1}{x_2}=x_1-x_2,\]于是\[x_1+x_2=\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\cdot\ln\dfrac{x_1}{x_2}.\]以下略．