在$\triangle ABC$中，$a,b,c$为等差数列，若$A-C=\dfrac{\pi}2$，求$a:b:c$．
分析与解 角思路
根据题意，由正弦定理得有$$2\sin (A+C)=\sin A+\sin C,$$进而可得$$\cos C-\sin C=\dfrac 12,$$于是解得$$\sin C=\dfrac{\sqrt 7-1}4,\cos C=\dfrac{\sqrt 7+1}4,$$进而可得$$\sin B=\sin (A+C)=\cos^2 C-\sin^2 C=\dfrac{\sqrt 7}4,$$于是由正弦定理$$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C,$$ 从而$$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$
边思路
不妨设$a,b,c$分别为$x+1,x,x-1$，则$$\cos A=\dfrac{x^2+(x-1)^2-(x+1)^2}{2x(x-1)}=\dfrac{x-4}{2(x-1)},$$而$$\cos C=\dfrac{x^2+(x+1)^2-(x-1)^2}{2x(x+1)}=\dfrac{x+4}{2(x+1)},$$根据题意，有$$\cos^2A +\cos^2 C=1,$$于是$$\left(\dfrac{x-4}{x-1}\right)^2+\left(\dfrac{x+4}{x+1}\right)^2=4,$$整理得$$(x^2-7)(x^2+2)=0,$$解得$x=\sqrt 7$．
于是$$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$