探索三角形三内角余切的线性组合的最小值

在$\triangle ABC$中，$2\cot A+3\cot B+4\cot C$的最小值为______．

分析与解　显然原式取得最小值时，有$\cot C\leqslant \cot B\leqslant \cot A$．在$\triangle ABC$中，有 $$\cot C=-\cot (A+B)=\dfrac{1-\cot A\cot B}{\cot A+\cot B},$$ 记$\cot A=x$，$\cot B=y$，于是问题转化为$x,y>0$，求 $$m=2x+3y+\dfrac{4(1-xy)}{x+y}$$ 的最小值．由于 $$\begin{split} m&=\dfrac{2x^2+3y^2+xy+4}{x+y}\\ &=2x-y+\dfrac{4y^2+4}{x+y}\\ &=2(x+y)+\dfrac{4y^2+4}{x+y}-3y\\ &\geqslant 2\sqrt{8\left(y^2+1\right)}-3y\\ &=\dfrac{4\sqrt 2-3\cos B}{\sin B} ,\end{split}$$ 等号当$2(x+y)=\dfrac{4y^2+4}{x+y}$时取得．于是 $$m\sin B+3\cos B=4\sqrt 2,$$ 从而$m^2+9\geqslant \left(4\sqrt 2\right)^2$，等号当$\cot B=\dfrac{3}{\sqrt{23}}$时取得．进而可得 $$\cot A=\dfrac{5}{\sqrt{23}},\cot B=\dfrac{3}{\sqrt{23}},\cot C=\dfrac{1}{\sqrt{23}}$$ 时等号可以同时取得，因此$m$的最小值为$\sqrt {23}$．

思考与总结　事实上，有如下推广： $$x\cot A+y\cot B+z\cot C\geqslant \sqrt{2(xy+yz+zx)-\left(x^2+y^2+z^2\right)},$$ 当且仅当 $$\cot A:\cot B:\cot C=(y+z-x):(z+x-y):(x+y-z)$$ 时取得．