每日一题[649]构造对偶式

求$\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$的个位数．

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分析与解　注意到$5+\sqrt{22}$是方程$x^2-10x+3=0$的一个根，因此构造递推数列

$$a_{n+2}=10a_{n+1}-3a_n,$$ 使得 $$a_n=\left(5+\sqrt{22}\right)^n+\left(5-\sqrt{22}\right)^n,$$ 则$a_1=10$，$a_2=94$．因此 $$a_{n+2}\equiv -3a_n\pmod{10},$$ 因此奇数项的个位数均为$0$，偶数项的个位数分别为$4,8,6,2,4,8,6,2,\cdots$，进而$a_{2016}$的个位数为$2$，因此$\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$的个位数为$1$．

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最后给出一道练习：

求$\left(15+\sqrt{215}\right)^{20}+\left(15+\sqrt{215}\right)^{15}$的个位数．

解　构造通项为

$$a_n=\left(15+\sqrt{215}\right)^n+\left(15-\sqrt{215}\right)^n$$ 的递推数列$a_{n+2}=30a_{n+1}-10a_n$，于是可得$a_{20}+a_{15}$的个位数为$0$，因此所求的个位数为$9$．