原点处有一匹马，它第一步可以跳到 $(\pm 1,\pm 2)$，$(\pm 2,\pm 1)$ 这八个点中的任一点，问：此马跳到整点 $P(m,n)$ 的最少步数是多少．
分析与解 考虑到坐标系的对称性，不妨设$m\geqslant n\geqslant 0$．定义两个整点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$的距离$$AB=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$$思考如何用最小步数将马从$P(m,n)$跳回原点．
情形一 $m=2n$．
由于每次移动到原点的距离最多减少$3$，因此至少需要$\dfrac{m+n}3$步，每一步都取$(-2,-1)$即可．
情形二 $n\leqslant m<2n$．
先利用$m-n$次$(-2,-1)$移动到$(2n-m,2n-m)$．此时
(1) 若$2n-m$是$3$的倍数，那么再经过$\dfrac{2n-m}3$次$(-2,-1)+(-1,-2)$就可以移动到原点，此时最少步数是$\dfrac{m+n}3$．
(2) 若$2n-m$模$3$余$1$，那么经过$\left[\dfrac{2n-m}3\right]$次$(-2,-1)+(-1,-2)$后到达$(1,1)$，再通过$2$次移动即可回到原点，此时最小步数是$\left[\dfrac{m+n}3\right]+2$．
(3) 若$2n-m$模$3$余$2$，此时由于$(2,2)$回到原点需要$4$步，因此除了$(m,n)=(2,2)$的情形之外，可以考虑回退一步后通过$3$次移动回到原点（比如退回到$(4,3)$，再通过$3$次移动$(4,3)-(3,1)-(2,-1)-(0,0)$到达原点），此时最小步数为$\left[\dfrac{m+n}3\right]+2$．
情形三 $m>2n$．
先利用$n$次$(-2,-1)$从$(m,n)$移动到$(m-2n,0)$．此时
(1) 若$m-2n$是$4$的倍数，那么经过$\dfrac{m-2n}2$次$(-2,-1)+(-2,1)$就可以移动到原点，此时最小步数为$\dfrac m2$．
(2) 若$m-2n$模$4$余$1$，此时由于$(1,0)$回到原点需要$3$步，因此除了$(m,n)=(1,0)$的情形外，可以考虑回退一步后通过$2$次移动回到原点，此时最小步数为$\left[\dfrac{m}2\right]+1$．
(3) 若$m-2n$模$4$余$2$，此时通过$\left[\dfrac{m-2n}2\right]-1$次移动后到达$(2,0)$，再通过$2$次移动回到原点，此时最小步数为$\left[\dfrac{m}2\right]+1$．
(4) 若$m-2n$模$4$余$3$，此时通过$\left[\dfrac{m-2n}2\right]-1$次移动后到达$(3,0)$，再通过$3$次移动回到原点，此时最小步数为$\left[\dfrac{m}2\right]+2$．
综上所述，此马跳到整点$P(m,n)$的最小步数可以按以下方式计算．将$\max\{|m|,|n|\}$看成新的$m$，将$\min\{|m|,|n|\}$看成新的$n$．
规则一 若$(m,n)=(1,0)$，则最小步数为$3$；若$(m,n)=(2,2)$，则最小步数为$4$．
规则二 若$m\leqslant 2n$且$m\neq 1$，则$$\begin{cases} \dfrac{m+n}3,&3\mid (m+n)\\ \left[\dfrac{m+n}3\right]+2,&3\nmid (m+n).\end{cases} $$
规则三 若$m>2n$且$m\neq 1$，则$$\begin{cases} \dfrac m2,&m-2n \equiv 0\pmod{4},\\ \dfrac{m+1}2, &m-2n \equiv 1\pmod{4},\\ \dfrac{m+2}2,&m-2n \equiv 2\pmod{4},\\ \dfrac{m+3}2,&m-2n \equiv 3\pmod{4}.\end{cases} $$