每日一题[616]向量的外心表达

已知$O$为$\triangle ABC$的外心，$AB=6$，$AC=10$，$\overrightarrow {AO}=x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AC}$，且$2x+10y=5$，则$\cos\angle BAC$的值是_____．

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分析与解　根据题意有

$$\begin{cases} \overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {AB}=36x+60y\cos\angle BAC=18,\\ \overrightarrow {AO}\cdot\overrightarrow {AC}=60x\cos\angle BAC+100y=50,\end{cases}$$ 将$10y=5-2x$代入第二个等式得 $$2x(3\cos\angle BAC-1)=0,$$ 于是$x=0$或$\cos\angle BAC=\dfrac 13$．
当$x=0$时，$y=\dfrac 12$，代入第一个等式得$\cos\angle BAC=\dfrac 35$．

综上知$\cos\angle BAC=\dfrac 13$或$\cos\angle BAC=\dfrac 35$．