2016年上海卷数列大题（最后一题）

若无穷数列$\left\{a_n\right\}$满足：只要$a_p=a_q \left(p,q\in \mathbf{N}^{*} \right)$，必有$a_{p+1}=a_{q+1}$，则称$\left\{a_n\right\}$具有性质$\mathbf{P}$.

(1) 若$\left\{a_n\right\}$具有性质$\mathbf{P}$，且$a_1=1,\ a_2=2,\ a_4=3,\ a_5=2,\ a_6+a_7+a_8=21$，求$a_3$；

(2) 若无穷数列$\left\{b_n\right\}$是等差数列，无穷数列$\left\{c_n\right\}$是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1,\ b_5=c_1=81,\ a_n=b_n+c_n$，判断$\left\{a_n\right\}$是否具有性质$\mathbf{P}$，并说明理由；

(3) 设$\left\{b_n\right\}$是无穷数列，已知$a_{n+1}=b_n+\sin{a_n}\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right)$，求证：“对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\}$都具有性质$\mathbf{P}$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\}$是常数列”．

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解  (1) 因为$a_2=a_5=2$，所以

$$a_3=a_6,\ a_4=a_7=3,\ a_5=a_8=2,$$ 因此$a_6=21-a_7-a_8=16$，故$a_3=16$．

(2) 由于$b_n=20n-19,\ c_n=\dfrac{1}{3^{n-5}}$，故

$$a_n=b_n+c_n=20n-19+\dfrac{1}{3^{n-5}}.$$ 因为$a_1=a_5=82$，但是 $$a_2=21+27=48\ne a_6=101+\dfrac{1}{3}=\dfrac{304}{3},$$ 所以$\left\{a_n\right\}$不具有性质$\mathbf{P}$．

(3) 先证明充分性．

若$\left\{b_n\right\}$是常数列，不妨设$b_n=c$，则$a_{n+1}=c+\sin{a_n}$．此时只要$a_p=a_q \left(p,q\in \mathbf{N}^{*} \right)$，必有

$$a_{p+1}=c+\sin{a_p}=c+\sin{a_q}=a_{q+1},$$ 故对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\}$都具有性质$\mathbf{P}$．

再证明必要性．

考察连续函数

$$f(x)=x-b_1-\sin{x},$$ 其中$b_1$为任意实数．因为 $$f \left(b_1-2\right)=-2-\sin{\left(b_1-2\right) }<0,\ f\left(b_1+2\right)=2-\sin{\left(b_1+2\right)}>0,$$ 所以存在$t\in \left(b_1-2,b_1+2\right)$，使得$f(t)=t-b_1-\sin{t}=0$．

若对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\}$都具有性质$\mathbf{P}$，取$a_1=t$，此时

$$a_2=b_1+\sin{a_1}=b_1+\sin{t}=t=a_1,$$ 进而 $$a_2=a_3,\ a_3=a_4,\ \cdots,\ a_n=a_{n+1},\ \cdots,$$ 所以对任意$n\in \mathbf{N}^{*}$，均有 $$b_{n+1}=a_{n+2}-\sin{a_{n+1}}=a_{n+1}-\sin{a_n}=b_n,$$ 即$\left\{b_n\right\}$是常数列．