2016年上海卷理科数学第18题（选择最后一题）

设$f(x),g(x),h(x)$是定义域为$\mathcal{R}$的三个函数，对于命题：

① 若$f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$均为增函数，则$f(x),g(x),h(x)$中至少有一个为增函数；

② 若$f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$均是以$T$为周期的函数，则$f(x),g(x),h(x)$均是以$T$为周期的函数，

下列判断正确的是（        ）

A．① 和 ② 均为真命题 

B．① 和 ② 均为假命题

C．① 为真命题，② 为假命题

D．① 为假命题，② 为真命题

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解  D．

① 为假命题，我们可以如下构造反例．将定义域$\mathcal R$分为三段，函数$f(x)$在第一段上是水平的射线，函数$g(x)$在第二段上是水平的线段，函数$h(x)$在第三段上是水平的射线，而在其余的部分，三个函数均为斜率为$1$的线段或射线．那么在每一段上，$f(x)+g(x),g(x)+h(x),h(x)+f(x)$均为斜率为$1$或$2$的线段或射线，如图．

② 为真命题．令

$$F(x)=f(x)+g(x),\ G(x)=f(x)+h(x),\ H(x)=g(x)+h(x),$$ 则 $$f(x)=\dfrac{F(x)+G(x)-H(x)}{2}$$ 是以$T$为周期的函数，同理$g(x),h(x)$也是以$T$为周期的函数．

注    若要构造严格单调递增的反例，可以将水平的线段或射线改为斜率为$-1$的线段或射线，斜率为$1$的线段或射线改为斜率为$2$的线段或射线．