已知函数\(f(x)=ax^2+b\)，求所有正实数对\((a,b)\)，使其满足对任意的\(x,y\in{\bf R}\)，有\(f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)f(y)\)．
根据题意
\[f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)f(y) \Leftrightarrow ax^2y^2+a(x+y)^2+2b\geqslant a^2x^2y^2+ab(x^2+y^2)+b^2.\]
令\(y=-x\)，则\[(a-a^2)x^4-2abx^2+2b-b^2\geqslant 0.\]
不难得到\[\begin{cases}a-a^2\geqslant 0\\\Delta<0\end{cases}\]即
\[a\in (0,1] \land 2a+b\leqslant 2.\]
令\(y=0\)，则\[a(1-b)x^2+2b-b^2\geqslant 0.\]
于是可得\(b\in (0,1]\)．
综上，可得必要条件\[a,b\in(0,1] \land 2a+b\leqslant 2.\]
接下来验证其充分性．
为了验证充分性，我们对不等式左右两边作差
\[\begin{split}f(xy)+f(x+y)-f(x)f(y)&=a(1-a)x^2y^2+a(1-b)x^2+a(1-b)y^2+2axy+2b-b^2\\&=\left(a(1-a)x^2y^2+2abxy+2b-b^2\right)+a(1-b)(x+y)^2.\end{split}\]
不难证明前后两个部分均为非负数，因此原问题获解．
注：验证充分性的代数变形由欧阳岚给出，该代数变形也可以绕开探索过程，直接得到充要条件．