每日一题[481]切线三角形

已知抛物线 $C:y^2=4x$ 和直线 $l:x-y+4=0$ ， $P$ 是直线 $l$ 上一点，过 $P$ 作抛物线的两条切线，切点分别为 $A,B$ ．若 $PA,PB$ 分别交 $y$ 轴于 $M,N$ ，求 $\triangle PMN$ 外接圆半径的最小值．

分析注意到 $\triangle PMN$ 的三边均为抛物线的切线，而抛物线的切线三角形有一个优美性质：抛物线的切线三角形的外接圆过焦点．因此可以从这点入手，结合图形的特殊性解题．

解设 $A(4a^2,4a)$ 则

P A : 4 a y = 2 (x + 4 a^{2}),

$PA:4ay=2(x+4a^2),$ 因此

M

$M$ 点的坐标为

(0, 2 a)

$(0,2a)$ ，从而直线

P A

$PA$ 与

F M

$FM$ 的斜率之积为

\frac{2}{4 a} \cdot \frac{2 a - 0}{0 - 1} = - 1,

$\dfrac{2}{4a}\cdot \dfrac{2a-0}{0-1}=-1,$ 因此

P A ⊥ F M

$PA\perp FM$ ．类似的，有

P B ⊥ F N

$PB\perp FN$ ．因此

P, M, F, N

$P,M,F,N$ 四点共圆，且直径为

P F

$PF$ ．易知，当

P F ⊥ l

$PF\perp l$ 时，所求外接圆的半径最小，为

\frac{1}{2} P F = \frac{5}{2 \sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{4} .

$\dfrac 12PF=\dfrac{5}{2\sqrt 2}=\dfrac{5\sqrt 2}4.$

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