设函数f(x)=2ax2+bx−3a+1,当x∈[−4,4]时,不等式f(x)⩾恒成立,求5a+b的取值范围.
解 根据题意,有\forall x\in [-4,4],(2x^2-3)\cdot a+x\cdot b+1\geqslant 0.令2x^2-3=5x,解得x=-\dfrac 12\lor x=3.由于-\dfrac 12,3\in [-4,4],可得-\dfrac 12(5a+b)+1\geqslant 0,3(5a+b)+1\geqslant 0,即-\dfrac 13\leqslant 5a+b\leqslant 2.
接下来我们证明5a+b可以取得-\dfrac 13以及2.
令b=-\dfrac 13-5a,可得\Delta=b^2+24a^2-8a=\left(7a-\dfrac 13\right)^2,于是当a=\dfrac 1{21},b=-\dfrac 47时,\Delta=0,符合题意;
当b=2-5a,可得\Delta=b^2+24a^2-8a=(7a-2)^2,于是当a=\dfrac 27,b=\dfrac 47时,\Delta=0,符合题意.
结合连续性可知,5a+b的取值范围是\left[-\dfrac 13,2\right].
想请问一下老师前面 令 2x^2−3=5x 是什么意思
选取合适的x的值,对5a+b的范围作初步的试探