每日一题[468]必要条件探路

设函数f(x)=2ax2+bx3a+1,当x[4,4]时,不等式f(x)恒成立,求5a+b的取值范围.


cover

   根据题意,有\forall x\in [-4,4],(2x^2-3)\cdot a+x\cdot b+1\geqslant 0.2x^2-3=5x,解得x=-\dfrac 12\lor x=3.由于-\dfrac 12,3\in [-4,4],可得-\dfrac 12(5a+b)+1\geqslant 0,3(5a+b)+1\geqslant 0,-\dfrac 13\leqslant 5a+b\leqslant 2.

接下来我们证明5a+b可以取得-\dfrac 13以及2

b=-\dfrac 13-5a,可得\Delta=b^2+24a^2-8a=\left(7a-\dfrac 13\right)^2,于是当a=\dfrac 1{21}b=-\dfrac 47时,\Delta=0,符合题意;

b=2-5a,可得\Delta=b^2+24a^2-8a=(7a-2)^2,于是当a=\dfrac 27b=\dfrac 47时,\Delta=0,符合题意.

结合连续性可知,5a+b的取值范围是\left[-\dfrac 13,2\right]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[468]必要条件探路》有2条回应

  1. Rachal说:

    想请问一下老师前面 令 2x^2−3=5x 是什么意思

发表回复