每日一题[468]必要条件探路

设函数$f(x)=2ax^2+bx-3a+1$，当$x\in [-4,4]$时，不等式$f(x)\geqslant 0$恒成立，求$5a+b$的取值范围．

---

解    根据题意，有

$$\forall x\in [-4,4],(2x^2-3)\cdot a+x\cdot b+1\geqslant 0.$$ 令$2x^2-3=5x$，解得 $$x=-\dfrac 12\lor x=3.$$ 由于$-\dfrac 12,3\in [-4,4]$，可得 $$-\dfrac 12(5a+b)+1\geqslant 0,3(5a+b)+1\geqslant 0,$$ 即 $$-\dfrac 13\leqslant 5a+b\leqslant 2.$$

接下来我们证明$5a+b$可以取得$-\dfrac 13$以及$2$．

令$b=-\dfrac 13-5a$，可得

$$\Delta=b^2+24a^2-8a=\left(7a-\dfrac 13\right)^2,$$ 于是当$a=\dfrac 1{21}$，$b=-\dfrac 47$时，$\Delta=0$，符合题意；

当$b=2-5a$，可得

$$\Delta=b^2+24a^2-8a=(7a-2)^2,$$ 于是当$a=\dfrac 27$，$b=\dfrac 47$时，$\Delta=0$，符合题意．

结合连续性可知，$5a+b$的取值范围是$\left[-\dfrac 13,2\right]$．