每日一题[62] 构造方程转化问题

已知数列\(a,b,c\)成等比数列，\(a,\dfrac{b(b-1)}{2},c\)为等差数列，当\(1<a<3<c<7\)时，\(b\)的取值范围是_______．

正确答案是\(\left(3,\dfrac 72\right)\)．

根据题意有\[\begin{cases}ac=b^2,\\a+c=b(b-1).\end{cases}\]据此构造关于\(x\)的方程\[x^2-b(b-1)x+b^2=0,\]则\(a,c\)为该方程的两根．

于是问题转化为关于\(x\)的方程\[x^2-b(b-1)x+b^2=0\]的两根分别位于区间\((1,3)\)和区间\((3,7)\)内，等价于\[\begin{cases}\left.x^2-b(b-1)x+b^2=0\right|_{x=1}>0\\\left.x^2-b(b-1)x+b^2=0\right|_{x=3}<0\\\left.x^2-b(b-1)x+b^2=0\right|_{x=7}>0\end{cases}\]

解得\(3<b<\dfrac 72\)．