每日一题[62] 构造方程转化问题

已知数列$a,b,c$成等比数列，$a,\dfrac{b(b-1)}{2},c$为等差数列，当$1<a<3<c<7$时，$b$的取值范围是_______．

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正确答案是$\left(3,\dfrac 72\right)$．

根据题意有

$$\begin{cases}ac=b^2,\\a+c=b(b-1).\end{cases}$$ 据此构造关于$x$的方程 $$x^2-b(b-1)x+b^2=0,$$ 则$a,c$为该方程的两根．

于是问题转化为关于$x$的方程

$$x^2-b(b-1)x+b^2=0$$ 的两根分别位于区间$(1,3)$和区间$(3,7)$内，等价于 $$\begin{cases}\left.x^2-b(b-1)x+b^2=0\right|_{x=1}>0\\\left.x^2-b(b-1)x+b^2=0\right|_{x=3}<0\\\left.x^2-b(b-1)x+b^2=0\right|_{x=7}>0\end{cases}$$

解得$3<b<\dfrac 72$．