每日一题[434]高瞻远瞩

这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的题目（原题为选择题）：

已知函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上可导，其导函数记作$f'(x)$，$f(0)=-2$，且$f(x+\pi)=-\dfrac 12f(x)$．当$x\in (0,\pi)$且$x\ne\dfrac{\pi}{2}$时， $$f'(x)\cdot \cos 2x>f(x)\cdot \sin 2x-f'(x).$$ 若方程$f(x)+k_n\sec x=0$在$[0,+\infty)$上有$n$个解，则数列$\left\{\dfrac{n}{k_{2n}}\right\}$的前$n$项和为_______．

正确答案是$(n-1)\cdot 2^n+1$．

分析    观察题目的结构，等式$f(x+\pi)=-\dfrac 12f(x)$描述了类周期性，表明了如何通过$[0,\pi)$上的函数图象延拓出整个定义域上的图象．于是描述导函数的不等式应该是为了描述与$f(x)$有关的一个函数的单调性．根据所求问题，可以猜测关键的函数为$g(x)=\cos x\cdot f(x)$．

解    由于不等式 $$f'(x)\cdot \cos 2x>f(x)\cdot \sin 2x-f'(x),$$ 即 $$2\cos x\cdot\left(\cos x\cdot f(x)\right)'>0,$$ 于是令函数$g(x)=\cos x\cdot f(x)$，则$g(x)$在$\left[0,\dfrac{\pi}2\right)$上单调递增，在$\left[\dfrac{\pi}2,{\pi}\right)$上单调递减．

由$f(0)=-2$，且$f(x+\pi)=-\dfrac 12f(x)$可得 $$g(0)=-2,g(x+\pi)=\dfrac 12g(x),$$ 于是函数$g(x)$的图象如图所示（为了简单起见用折线代替了曲线，虽然违反了可导，但是不影响公共点判断）．

于是直线$y=-k_{2n}$与函数$g(x)$的图象有$2n$个公共点，因此 $$k_{2n}=\dfrac{1}{2^{n-1}},n=1,2,\cdots ,$$ 从而$\dfrac{n}{k_{2n}}=n\cdot 2^{n-1}$，求和可得其前$n$项和为$(n-1)\cdot 2^n+1$．