每日一题[435]不动如山，动若雷震

下面这道题目是我的好友“猴子派来的”与我讨论的题目，题目来源为2016年辽宁省实验中学，东北师大附中，哈尔滨师大附中（东北最强三校）高三第一次联合模拟考试第16题：

已知$\triangle ABC$满足$A=\dfrac{\pi}3$，$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$，点$M$在$\triangle ABC$外，且$MB=2MC=2$，则$MA$的取值范围是_______．

正确答案是$[1,3]$．

分析    易知$\triangle ABC$为正三角形，接下来有两条风格迥异的思路可以解决问题．

思路一    静态观察

平面上四边形的四边与对角线满足关系（托勒密定理）：对角线的乘积不超过两组对边分别相乘所得乘积之和，当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等．

如图，设$MA=x$，$AB=BC=CA=t$，那么由左右两图分别应用托勒密定理可得 $$\begin{cases} tx\leqslant 3t,\\ 2t\leqslant tx+t,\end{cases}$$ 于是$1\leqslant x\leqslant 3$．

由于两侧等号均能取得（如下图），又根据图形连续变化，因此$MA$的取值范围是$[1,3]$．

思路二    动态探索

如图，先固定$B,M$，使得$BM=2$，然后让$C$在半径为$1$圆$M$上运动，观察$A$点的轨迹（暂时忽略$M$在$\triangle ABC$外的条件）．

由平面几何知识容易得到$A$的轨迹是圆$M$绕点$B$旋转$60^\circ$后得到的圆$N$，据此容易求得$MA$的取值范围是$[1,3]$（注意取得最值时$M$均在$\triangle ABC$外部）．