每日一题[427]分？还是不分？

本题是一个学生的问题：

已知不等式$ax^2-|x+1|+3a\geqslant 0$的解集为$\mathcal R$，求$a$的取值范围．

正确答案是$\left[\dfrac 12,+\infty\right )$．

分析    问题等价于 $$\forall x\in\mathcal R,ax^2-|x+1|+3a\geqslant 0,$$ 这种含参的不等式或方程问题中对参数的处理一般有全分离、半分离、不分离的三种方式．

解法一    全分离

问题等价于 $$\forall x\in\mathcal R,a\geqslant \dfrac{|x+1|}{x^2+3},$$ 令$x+1=t$，则右边即$\dfrac{|t|}{t^2-2t+4}$，记为$f(t)$．由 $$f(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{t+\frac 4t-2},&t>0,\\ 0,&t=0,\\ -\dfrac{1}{t+\frac 4t-2},&t<0,\end{cases}$$ 可得$f(t)$的值域为$\left[0,\dfrac 12\right]$．因此$a$的取值范围是$\left[\dfrac 12,+\infty \right)$．

解法二    半分离

显然$a\neq 0$，于是问题等价于 $$\forall x\in\mathcal R,x^2+3\geqslant \dfrac 1a\cdot |x+1|,$$ 如图．计算可知极限情况时$\dfrac 1a=2$，因此可得$a$的取值范围是$\left[\dfrac 12,+\infty \right)$．

解法三    不分离

此时需要一个小技巧：$\min\{a,b\}\geqslant c$等价于$a\geqslant c$且$b\geqslant c$．

原题即 $$\begin{cases} \forall x\in\mathcal R,ax^2-(x+1)+3a\geqslant 0,\\ \forall x\in\mathcal R,ax^2+(x+1)+3a\geqslant 0,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} \forall x\in\mathcal R,ax^2-x+3a-1\geqslant 0,\\ \forall x\in\mathcal R,ax^2+x+3a+1\geqslant 0,\end{cases}$$ 于是 $$\begin{cases} a>0,\\ 1-4a(3a-1)\leqslant 0,\end{cases} \land \begin{cases} a>0,\\ 1-4a(3a+1)\leqslant 0,\end{cases}$$ 解得$a\geqslant \dfrac 12$，于是$a$的取值范围是$\left[\dfrac 12,+\infty \right)$．

注　解法一中，分离后也可以直接通过 $$f(t)=\dfrac{1}{|t|+\dfrac{4}{|t|}-2\dfrac{t}{|t|}},$$ 由分母的最小值为$2$，得到$f(t)$的最大值为$\dfrac 12$．

更多相关问题见每日一题[234]分离变量、每日一题[299]分段与分离相遇．