每日一题[409]擒贼先擒王

2012年北京大学优秀中学生夏令营试题：

某一等差数列的$a_1<0$，$a_{100}\geqslant 74$，$a_{200}<200$，且在区间$\left(\dfrac 12,5\right)$中的项比$\left[20,\dfrac{49}2\right]$中该数列的项少$2$，求数列$\{a_n\}$的通项公式．

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正确答案是$a_n=\dfrac 34n-1$．

解　本题条件很多，如何从众多的条件中抓住一个关键条件作为突破口非常重要．

将等差数列各项对应的点在数轴上表示出来都是等间距的，而题中的两个区间的长度一样，要使得两个长度相同的区间包含的项数相差$2$，只可能有$\dfrac 12,5,20,\dfrac{49}2$均为数列中的项（注意到$a_1<0$）．

设数列的公差为$d$，则这四个数相邻两项之差$\dfrac 92,15,\dfrac 92$均为$d$的整数倍，于是$\dfrac 32$是$d$的整数倍，设$d=\dfrac 3{2m}$($m\in\mathcal N^*$)．

根据已知，有

$$\begin{cases} a_1<0,\\ a_1+99d\geqslant 74,\\ a_1+199d<200,\end{cases}$$ 不难得到 $$\dfrac{74}{99}<d<\dfrac{63}{50},$$ 从而 $$\dfrac{25}{21}<m<\dfrac{297}{148},$$ 进而$m=2$，结合不等式组及$d$的形式知$d=\dfrac 34$．

综上所述，所求的$a_n=\dfrac 34n-1$．