每日一题[388]抛物线动起来

设变量$x,y$满足约束条件 $$\begin{cases} y-1\geqslant 0,\\x+y-4\leqslant 0,\\y-1\leqslant k(x-1),\end{cases}$$ 其中$k\in\mathcal{R}$，$k>0$．

（1）当$k=1$时，$\dfrac {y}{x^2}$的最大值为____；

（2）若$\dfrac {y}{x^2}$的最大值为$1$，则实数$k$的取值范围是____．

正确答案是（1）$1$；（2）$(0,2]$．

解　对于规划问题，关键是分析可行域与目标函数．

首先看可行域，在本题中，可行域是一个三角形，$A(1,1),B(3,1)$是它的两个固定的顶点，另外一个顶点$C$随着$k$的变化而变化．

下面来看目标函数，$\dfrac {y}{x^2}$有什么意义呢？记$m=\dfrac {y}{x^2}$，则$y=mx^2,m>0$表示以$y$轴为对称轴、开口向上的抛物线，当$m$的值增大时，抛物线$y=mx^2$离$y$轴的距离越来越近，如下图：

于是我们得到，当$k=1$时，$\dfrac {y}{x^2}$的最大值为$1$；

如果$\dfrac {y}{x^2}$的最大值为$1$，说明$\triangle ABC$中所有的点都在抛物线的外部（指抛物线不包含焦点的部分），如图：

这就需要直线$AC$的斜率$k$不超过抛物线$y=x^2$在点$A(1,1)$处的切线的斜率$y'|_{x=1}=2$，从而得到$k\in(0,2]$．