已知点$A,B$分别为异面直线$a,b$上的点，且直线$AB$与$a,b$均垂直，动点$P\in a$，$Q\in b$，$PA+QB$为定值，则线段$PQ$中点$M$的轨迹是（ ）
A．平行四边形
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
正确答案是 A．
分析 本题是每日一题[247]从平面到空间的升级版．用相同的方法，作直线$a,b$以及点$P,Q$在线段$AB$的中垂面上的投影，记为直线$a',b'$以及点$P',Q'$，则线段$P'Q'$的中点即点$M$，这样就把空间的问题转化成为了平面上的问题，如图．
解 设$PA+QB=2m$，而$OE=OF=OG=OH=m$．以$P',Q'$分别在射线$OF,OE$上为例．
由$$OP'+OQ'=AP+BQ=2m,$$以及$$OE+OF=2m,$$可得$FP'=EQ'$．
过$P'$作直线$EF$的平行线交直线$b'$于点$R$，则有$$FP'=ER=EQ',$$于是线段$P'Q'$的中点$M$在线段$EF$上．
类似的，可得其他情形时点$M$的轨迹分别为线段$FG$，$GH$，$HE$．
综上所述，线段$PQ$中点$M$的轨迹是矩形$EFGH$，选 A．