每日一题[374]见微知著

已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=\dfrac {5a_{n-1}-2}{a_{n-1}-5},n\in\mathcal{N}^*,n\geqslant 2$，且$a_1+a_2+\cdots+a_{2000}=50$，则$a_1+a_{20}=$____．

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正确答案是$\dfrac {1}{20}$．

解　利用不动点法直接求数列的通项太复杂，我们不妨先写几项寻找数列的规律．令$a_1=a$，则

$$\begin{split} a_2&=\dfrac {5a-2}{a-5},\\a_3&=\dfrac {5\cdot\dfrac{5a-2}{a-5}-2}{\dfrac {5a-2}{a-5}-5}=a=a_1\end{split}$$ 于是 $$\begin{split} a_2&=a_4=a_6=\cdots,\\a_1&=a_3=a_5=\cdots.\end{split}$$ 从而 $$a_1+a_{20}=a_1+a_2 =\dfrac {50}{1000}=\dfrac {1}{20}.$$ 事实上，在本题中，由递推公式可以得到 $$a_na_{n-1}-5(a_n+a_{n-1})+2=0,$$ 在这个式子中，$a_n$与$a_{n-1}$是对称的，也就是说已知$a_{n-1}$求得$a_n$后再去求$a_{n+1}$的结果必然是$a_{n-1}$，即$a_{n+1}=a_{n-1}$，从而得到数列的周期为$2$．

对于给出递推公式求数列通项公式的问题，有些有通用的解决办法，比如累加累乘法、不动点法、特征根法等，对于具体的问题，尝试写出几项寻找数列的规律，再结合题目要求探索解决办法是一种基本的处理思路．

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下面给出一道练习：

已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\dfrac {a_{n}-1}{a_{n}+1}$，且$a_1=\dfrac 12$，则$a_{2016}=$____．

答案　$3$．

提示　数列$\{a_n\}$是周期为$4$的数列．