每日一题[356]算两次

某次测试成绩满分为150分,设n名学生的得分分别为a1,a2,,anaiN1),b_k1\leqslant k\leqslant 150)为n名学生中得分至少为k分的人数.设Mn名学生的平均成绩,记N=\dfrac {b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n},则MN的大小关系为__________.


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正确答案是M=N

 我们需要搞清楚N的含义,我们将b_k进行拆分,记这n名学生中得分为i分的人数为c_i,则0\leqslant i\leqslant 150,且c_0+c_1+c_2+\cdots+c_{150}=n.由题意知b_k=c_k+c_{k+1}+\cdots+c_{150},于是\begin{split} &{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}\\=&(c_1+c_2+\cdots+c_{150})+(c_2+c_3+\cdots+c_{150})+\cdots+c_{150}\\=&c_1+2c_2+3c_3+\cdots+150c_{150}.\end{split}n名同学的得分总和可以用两种方法计算得到,一是将每名同学的得分直接相加,即a_1+a_2+\cdots+a_n=nM.另一种方法是先将得分按分数分类,然后每个分数乘以得到这个分数的人数,即0\cdot c_0+1\cdot c_1+2\cdot c_2+\cdots+150c_{150}=b_1+b_2+\cdots+b_{150}.从而有nM=b_1+b_2+\cdots+b_{150}.所以有M=N

将一个量用两种不同的方法分别计算一次,由结果相同得到一个等式,就被称为算两次的思想,在解决某些问题时非常有效.

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每日一题[356]算两次》有一条回应

  1. Seeker说:

    老师,对于一个整体中同一个样本的超几何分布,二项分布得出的期望值一样,是不是和本例表达的 意思有一点相近?

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