每日一题[344]换元求范围

设$a,b\in\mathcal{R}$，关于$x$的方程$(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)=0$的四个实根构成以$q$为公比的等比数列，若$q\in\left[\dfrac 13,2\right ]$，则$ab$的取值范围是______．

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正确答案是$\left[4,\dfrac {112}{9}\right]$．

解　法一　设等比数列为$m,mq,mq^2,mq^3$，从而有

$$m^2q^3=1.$$ 由题意知 $$\begin{split} ab&=(m+mq^3)(mq+mq^2)\\&=m^2q(1+q)(1+q^3)\\&=q+\dfrac 1q+q^2+\dfrac {1}{q^2}\\&=\left(q+\dfrac 1q\right )^2+\left(q+\dfrac 1q\right )-2.\end{split}$$ 记$t=q+\dfrac 1q$，则由$q\in\left[\dfrac 13,2\right ]$知$t\in\left[2,\dfrac {10}{3}\right ]$．

因为$ab=t^2+t-2$在$t\in\left[2,\dfrac {10}{3}\right ]$上单调递增，所以$ab\in\left[4,\dfrac {112}{9}\right ]$．

法二（由意琦行提供）

设四个实根构成的等比数列为

$$\dfrac {m}{(\sqrt q)^3},\dfrac {m}{\sqrt q},m\sqrt q,m\cdot(\sqrt q)^3,$$ 则根据题意知 $$\dfrac {m}{(\sqrt q)^3}\cdot m\cdot(\sqrt q)^3=\dfrac {m}{\sqrt q}\cdot m\sqrt q=1,$$ 所以$m^2=1$．

记$\sqrt q=t\in\left[\dfrac {\sqrt 3}{3},\sqrt 2\right ]$，有

$$\begin{split} ab&=\left(\dfrac {m}{t^3}+mt^3\right )\cdot\left(\dfrac mt+mt\right )\\&=\left(t+\dfrac 1t\right )^2\left(t^2+\dfrac {1}{t^2}-1\right )\\&=\left(t+\dfrac 1t\right )^4-3\left(t+\dfrac 1t\right )^2.\end{split}$$ 记$s=t+\dfrac 1t$，则$s\in\left[2,\dfrac 43\sqrt 3\right ]$，从而$s^2\in\left[4,\dfrac {16}{3}\right ]$，于是 $$\begin{split} ab&=s^4-3s^2\\&=\left(s^2-\dfrac 32\right )^2-\dfrac 94\in\left[4,\dfrac {112}{9}\right].\end{split}$$

已知几个数成等差数列或等比数列有多种不同的设法，法二采用的是对称设法，这种设法对于解决某些问题会带来思考或计算上的方便．更多相关问题见每日一题[291]对称美学．