过点\(M(2,1)\)的直线交椭圆\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1\)于\(A\)、\(B\)两点，使\(M\)是弦\(AB\)的一个三等分点，求此直线的斜率． 
正确答案是\(\dfrac{-4\pm \sqrt 7}6\)． 解 容易验证当\(AB\)的斜率不存在时，不符合题意． 当\(AB\)的斜率为\(k\)时，设直线\(AB\)的方程为\[\begin{cases}x=2+t,\\y=1+kt,\end{cases}\]其中$t$为参数． 与椭圆方程联立得\[\dfrac{(2+t)^2}{16}+\dfrac{(1+kt)^2}4=1,\]即\[\begin{eqnarray} (4k^2+1)t^2+(8k+4)t-8=0,\end{eqnarray} \] 设此方程的两根为$t_1,t_2$，分别对应点$A,B$，有\[\dfrac{t_1}{t_2}=-2,\]因为$t_1,t_2$为方程（1）的两根，所以有\[\begin{eqnarray} (8k+4)^2=\left(-2-\dfrac 12+2\right )(4k^2+1)\cdot (-8),\end{eqnarray} \] 化简得\(12k^2+16k+3=0\)，解得\[k=\dfrac{-4\pm \sqrt 7}6.\] 注 得到（2）式的过程中用到以下结论，我们称为两根比公式： 若\(x_1\),\(x_2\)是方程\(ax^2+bx+c=0\)的两个根，且\(\dfrac{x_1}{x_2}=\lambda\)，则\[b^2=\left(\lambda+\dfrac 1{\lambda}+2\right)ac.\] 证明 由韦达定理知\[\begin{cases}x_1+x_2=(1+\lambda)x_2=-\dfrac ba, \quad(3)\\x_1x_2=\lambda x_2^2=\dfrac ca,\qquad(4) \end{cases}\]$\dfrac {(3)^2}{(4)}$得$$\dfrac {(1+\lambda )^2}{\lambda }=\dfrac {b^2}{ac},$$于是得到上面的两根比公式． 两根比公式得到了一元二次方程两根之比与方程的系数之间的关系，可以简化计算过程．当$\lambda =1$时，两根相等，两根比公式即$b^2=4ac$，即方程的判别式为零．注意两根比公式应用的前提也是一元二次方程的根存在．