每日一题[43] 必要条件探路

一般而言，在进行问题的转化的时候主要特别注意问题的等价性，也就是需要同时考虑充分性和必要性．但很多时候，为了寻求突破口（尤其是突然有个猜想）时，往往需要先利用必要条件（或充分条件）探路，然后随后验证其充分性（或必要性）．

下面一道题目来自2015年北京西城高三期末理科数学．

设$D$为不等式组 $$\begin{cases}x+y\leqslant 1,\\2x-y\geqslant -1,\\x-2y\leqslant 1,\end{cases}$$ 表示的平面区域，点$B(a,b)$为坐标平面$xOy$内的一点，若对于区域$D$内的任一点$A(x,y)$，都有$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\leqslant 1$成立，则$a+b$的最大值是________．

一方面，取平面区域$D$内的一点$A\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$，由题意可得 $$\frac 12a+\frac 12b\leqslant 1,$$ 于是 $$a+b\leqslant 2.$$

另一方面，取点$B(1,1)$，则此时 $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x+y,$$ 根据$D$的不等式组表达，有$x+y\leqslant 1$，于是$a+b$可以取到$2$．

综上所述，$a+b$的最大值为$2$．

下面给出两道练习题．

1、若$a\geqslant 0$，$b\geqslant 0$，且当 $$\begin{cases}x\geqslant 0\\y\geqslant 0\\x+y\leqslant 1\end{cases}$$ 时，恒有$ax+by\leqslant 1$，则$P(a,b)$所形成的平面区域的面积等于________．

2、若不等式$a\cos x+b\cos{2x}\leqslant 1$对一切实数$x$均成立，求$a+b$的最大值与最小值．

参考答案

1、$0\leqslant a\leqslant 1$，$0\leqslant b\leqslant 1$，面积为$1$．

2、最大值为$1$，最小值为$-2$．

提示    令$\cos x=\cos{2x}$，解得$\cos x=-\dfrac 12\lor\cos x=1$，分别代入再验证充分性即可．