仿射变换（一）—什么是仿射变换

在解析几何中，圆有很多很好的几何性质，比如圆中有垂径定理，可以很好地处理与弦长或者面积相关的问题．椭圆的标准方程 $$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$$ 在形式上接近圆的标准方程 $$x^2+y^2=r^2,$$ 我们可以通过仿射变换将椭圆变成圆，再利用圆的良好的几何性质解决问题．我们先来看看什么叫仿射变换？ 仿射变换是一种二维坐标到二维坐标的线性变换，变换保持二维图形间的相对位置关系不发生变化：平行线还是平行线、直线还是直线、并且同一条直线上的点的位置顺序和长度的比例关系不变．但向量的夹角可能会发现变化，垂直关系可能会发生变化． 仿射变换可以通过一系列的基本变换的复合来实现，这些基本的变换包括平移、缩放、旋转、翻转和错切，如图： 对于椭圆的标准方程$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$，我们在$y$轴上进行伸缩变换 $$\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{b}{a}y',\end{cases}$$ 从而得到圆的方程 $$x'^2+y'^2=a^2.$$ 此时椭圆上的点$P(x_0,y_0)$经过变换变成点$P'\left(x_0,\dfrac {a}{b}y_0\right )$，即所有点经过变换后横坐标不变，纵坐标变成原来的$\dfrac ab$．从而在原坐标系中一条斜率为$k=\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$的直线，在新的坐标系中的斜率 $$k'=\dfrac {\Delta y'}{\Delta x'}=\dfrac ab\cdot k.$$

下面我们用一道高考题来感受一下仿射变换： 2010年高考数学上海卷理科第23题（解答压轴题）： 已知椭圆$\Gamma$的方程为$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，点$P$的坐标为$(-a,b)$． （１）若直角坐标平面上的点$M,A(0,-b),B(a,0)$满足$\overrightarrow {PM}=\dfrac 12\left(\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}\right )$，求点$M$的坐标； （２）设直线$l_1:y=k_1x+p$交椭圆$\Gamma$于$C,D$两点，交直线$l_2:y=k_2x$于点$E$．若$k_1k_2=-\dfrac {b^2}{a^2}$，证明：$E$是$CD$的中点； （３）对于椭圆$\Gamma$上的点$Q(a\cos\theta,b\sin\theta)(0<\theta<\pi)$，如果椭圆$\Gamma$上存在不同的两点$P_1,P_2$使$\overrightarrow {PP_1}+\overrightarrow {PP_2}=\overrightarrow {PQ}$，写出求作点$P_1,P_2$ 的步骤，并求出使$P_1,P_2$存在的$\theta$的取值范围．

解　在第（1）问中，由向量的知识知$M$为$AB$的中点，所以$M$的坐标为$\left(\dfrac a2,-\dfrac b2\right )$； （2）　作仿射变换 $$\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{b}{a}y',\end{cases}$$ 将椭圆的方程变成圆的方程 $$x'^2+y'^2=a^2.$$ 对于（2），有 $$k_1'\cdot k_2'=\dfrac {a}{b}k_1\cdot\dfrac{a}{b}k_2=-1.$$ 所以 $$C'D'\perp O'E',$$ 根据垂径定理，$E'$是弦$C'D'$的中点，于是$E$是$CD$的中点． 对于（3），分析条件 $$\overrightarrow {PP_1}+\overrightarrow {PP_2}=\overrightarrow {PQ}.$$ 这表示要在椭圆上作出两点$P_1,P_2$，使得线段$P_1P_2$与$PQ$互相平分，这在椭圆上想做到并不容易．但在圆上因为有垂径定理，所以会容易很多，于是我们通过仿射变换变成圆之后找到对应的$P'_1,P_2'$，再对应回来即可． 作图步骤如下： 1．以$O$为圆心，椭圆的长半轴长$a$为半径为圆； 2．过$O$作射线，使$Ox$轴正方向到该射线的角为$\theta$，射线交圆于$Q'$； 3．过圆与$y$轴正向的交点作$y$轴的垂线，过圆与$x$轴负向的交点作$x$轴的垂线，两条垂线交于点$P'$； 4．连结$P'Q'$，取其中点$M'$； 5．连结$OM'$，过$M'$作与$OM'$垂直的直线，交圆于$P'_1,P_2'$； 6．过点$P'_1,P_2'$作$x$轴的垂线，交椭圆于$x$轴上方的点$P_1,P_2$． 因为$M'$是$P'Q'$与$P'_1,P'_2$的中点，所以$M$为$PQ$与$P_1P_2$的中点，故$P_1,P_2$即为所求． 下面我们来求$\theta$的范围． 根据作图步骤，我们知道要想作出$P_1,P_2$，需要点$M'$在圆内，$M'$为$P'(-a,a)$与$Q'(a\cos\theta,a\sin\theta)$的中点，于是有 $$\left(\dfrac {-a+a\cos\theta}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a+a\sin\theta}{2}\right)^2<a^2$$ 化简得 $$\sin\left(\theta-\dfrac {\pi}{4}\right)<\dfrac {\sqrt 2}{4},$$ 于是得到$\theta$的取值范围为 $$\left(0,\dfrac {\pi}{4}+\arcsin{\dfrac {\sqrt 2}{4}}\right).$$

最后我们给出一道练习： （2012高考湖南数学理科第21题）设$A$是单位圆$x^2+y^2=1$上的任意一点，$l$是过点$A$与$x$轴垂直的直线，$D$是直线$l$与$x$轴的交点，点$M$在直线$l$上，且满足$\left|DM\right|=m\left|DA\right |$，其中$m>0$，且$m\ne 1$．当点$A$在圆上运动时，记点$M$的轨迹为曲线$C$．求曲线$C$的方程，判断曲线$C$是何种圆锥曲线，并求焦点坐标． 答案　曲线$C$的方程为$x^2+\dfrac {y^2}{m^2}=1$． 当$0<m<1$时，曲线$C$为焦点在$x$轴上的椭圆，焦点坐标为$\left(\pm\sqrt{1-m^2},0\right)$； 当$m>1$时，曲线$C$为焦点在$y$轴上的椭圆，焦点坐标为$\left(0,\pm\sqrt{m^2-1}\right)$．