1、已知正整数$x,y$满足$x^2+82x+2013=y^2$，则$x+y=$（ ）
A．$123$
B．$124$
C．$125$
D．$126$
2、数列$\{a_n\}$中，已知$a_1=20$，$a_2=13$，$a_3=31$，$a_4=18$，且当$n\geqslant 5$时，$a_n=a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-3}-a_{n-4}$，则数列的前$2014$项和是（ ）
A．$64$
B．$82$
C．$62$
D．$42$
3、三角形$ABC$内接于圆$O$，且$AB=AC$，过点$B$作圆$O$在顶点$C$处切线的平行线交圆于另外一点$D$，$AC$、$BD$交于点$E$，$AB=8$，$BC=6$，则$AE=$（ ）
A．$4$
B．$3$
C．$\dfrac 72$
D．$\dfrac 52$
4、将包含甲、乙两队的$8$支队伍平分成$2$个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在两个不同的小组的方案种数为（ ）
A．$20$
B．$35$
C．$40$
D．$60$
5、设$\omega$为方程$x^3=1$的虚根，则$(1-\omega+\omega^2)\cdot (1+\omega-\omega^2)$的值为（ ）
A．$4$
B．$\omega$
C．$\omega^2$
D．$1$
6、椭圆$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$的右焦点为$F$，$P_1,P_2,\cdots,P_{24}$为椭圆上$24$个逆时针方向排列的点，其中$P_1$是椭圆的右顶点，且$$\angle P_1FP_2=\angle P_2FP_3=\cdots=\angle P_{23}FP_{24}=\angle P_{24}FP_1,$$则这$24$个点到椭圆右准线的距离的倒数之和为（ ）
A．$2\sqrt 5$
B．$6\sqrt 5$
C．$2\sqrt 3$
D．$6\sqrt 3$
7、在平面直角坐标系$xOy$中，点$P$、$Q$分别为直线$l:2x+y-3=0$与圆$M:(x-2)^2+y^2=r^2$（$r>0$）上的动点．若$P$、$O$、$Q$可以构成等腰直角三角形，则$r$的最小值为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B．$\dfrac{\sqrt 5}5$
C．$\dfrac{3\sqrt {10}}{10}$
D．以上答案均不正确
参考答案
1、C 提示 配方可得$$(x+41)^2+332=y^2,$$移项，应用平方差公式因式分解得$$(y-x-41)\cdot (y+x+41)=2^2\cdot 83,$$由于等式左边的两个因数同奇偶，于是只可能为$2\cdot 166$，因此$$y+x+41=166,$$即$$x+y=125.$$
2、B 提示 数列以$10$为周期，且前$10$项为：$$20,13,31,18,-20,-20,-13,-31,-18,20,$$因此$S_{2014}=S_4=82$．
3、C 提示 三角形$ABC$与三角形$BEC$相似．
4、A 提示 $\dfrac 12{\rm C}_8^4-{\rm C}_6^2=20$．
5、A 提示 $\omega^2+\omega+1=0$．
6、B 提示 由椭圆的第二定义可得点$P_i$到右准线的距离的倒数为$e\cdot\dfrac{1}{P_iF}$，其中$e$为椭圆的离心率，$i=1,2,\cdots,24$．
对于椭圆，我们有常用结论：椭圆的焦点弦被焦点所分的两条线段的调和平均数为半通径长$\dfrac{b^2}{a}$．
于是应用该结论，有$$\sum_{i=1}^{24}\left(e\cdot\dfrac{1}{P_iH}\right)=\dfrac{\sqrt 5}3\cdot\left(\dfrac{a}{b^2}\cdot 24\right)=6\sqrt 5.$$
7、D 提示 考虑当$P$运动时，$Q$点所有可能的位置形成的轨迹，因为直角顶点不确定，所以需要讨论．
当\(O\)为直角顶点时，\(Q\)点的轨迹为两条直线，如图．
O为直角顶点时
同理，当\(Q\)或\(P\)为直角顶点时，轨迹分别是两条直线，如图：
Q或P为直角顶点时
六条直线方程分别为$x-2y+3=0$，$x-2y-3=0$，$3x-y-3=0$，$x+3y-3=0$，$x+3y-6=0$，$3x-y-6=0$．因此$r$的最小值为圆心$M(2,0)$到六条直线距离的最小者，而圆心恰好在其中一条直线上，所以$r$的最小值不存在．