练习题[32] 提高练习

1、已知正整数$x,y$满足$x^2+82x+2013=y^2$，则$x+y=$（        ）

A．$123$

B．$124$

C．$125$

D．$126$

2、数列$\{a_n\}$中，已知$a_1=20$，$a_2=13$，$a_3=31$，$a_4=18$，且当$n\geqslant 5$时，$a_n=a_{n-1}-a_{n-2}+a_{n-3}-a_{n-4}$，则数列的前$2014$项和是（        ）

A．$64$

B．$82$

C．$62$

D．$42$

3、三角形$ABC$内接于圆$O$，且$AB=AC$，过点$B$作圆$O$在顶点$C$处切线的平行线交圆于另外一点$D$，$AC$、$BD$交于点$E$，$AB=8$，$BC=6$，则$AE=$（        ）

A．$4$

B．$3$

C．$\dfrac 72$

D．$\dfrac 52$

4、将包含甲、乙两队的$8$支队伍平分成$2$个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在两个不同的小组的方案种数为（        ）

A．$20$

B．$35$

C．$40$

D．$60$

5、设$\omega$为方程$x^3=1$的虚根，则$(1-\omega+\omega^2)\cdot (1+\omega-\omega^2)$的值为（        ）

A．$4$

B．$\omega$

C．$\omega^2$

D．$1$

6、椭圆$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$的右焦点为$F$，$P_1,P_2,\cdots,P_{24}$为椭圆上$24$个逆时针方向排列的点，其中$P_1$是椭圆的右顶点，且

$$\angle P_1FP_2=\angle P_2FP_3=\cdots=\angle P_{23}FP_{24}=\angle P_{24}FP_1,$$ 则这$24$个点到椭圆右准线的距离的倒数之和为（        ）

A．$2\sqrt 5$

B．$6\sqrt 5$

C．$2\sqrt 3$

D．$6\sqrt 3$

7、在平面直角坐标系$xOy$中，点$P$、$Q$分别为直线$l:2x+y-3=0$与圆$M:(x-2)^2+y^2=r^2$（$r>0$）上的动点．若$P$、$O$、$Q$可以构成等腰直角三角形，则$r$的最小值为（        ）

A．$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

B．$\dfrac{\sqrt 5}5$

C．$\dfrac{3\sqrt {10}}{10}$

D．以上答案均不正确

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参考答案

1、C    提示    配方可得

$$(x+41)^2+332=y^2,$$ 移项，应用平方差公式因式分解得 $$(y-x-41)\cdot (y+x+41)=2^2\cdot 83,$$ 由于等式左边的两个因数同奇偶，于是只可能为$2\cdot 166$，因此 $$y+x+41=166,$$ 即 $$x+y=125.$$

2、B    提示    数列以$10$为周期，且前$10$项为：

$$20,13,31,18,-20,-20,-13,-31,-18,20,$$ 因此$S_{2014}=S_4=82$．

3、C    提示    三角形$ABC$与三角形$BEC$相似．

4、A    提示    $\dfrac 12{\rm C}_8^4-{\rm C}_6^2=20$．

5、A    提示    $\omega^2+\omega+1=0$．

6、B    提示    由椭圆的第二定义可得点$P_i$到右准线的距离的倒数为$e\cdot\dfrac{1}{P_iF}$，其中$e$为椭圆的离心率，$i=1,2,\cdots,24$．

对于椭圆，我们有常用结论：椭圆的焦点弦被焦点所分的两条线段的调和平均数为半通径长$\dfrac{b^2}{a}$．

于是应用该结论，有

$$\sum_{i=1}^{24}\left(e\cdot\dfrac{1}{P_iH}\right)=\dfrac{\sqrt 5}3\cdot\left(\dfrac{a}{b^2}\cdot 24\right)=6\sqrt 5.$$

7、D    提示    考虑当$P$运动时，$Q$点所有可能的位置形成的轨迹，因为直角顶点不确定，所以需要讨论．

当$O$为直角顶点时，$Q$点的轨迹为两条直线，如图．

同理，当$Q$或$P$为直角顶点时，轨迹分别是两条直线，如图：

六条直线方程分别为$x-2y+3=0$，$x-2y-3=0$，$3x-y-3=0$，$x+3y-3=0$，$x+3y-6=0$，$3x-y-6=0$．因此$r$的最小值为圆心$M(2,0)$到六条直线距离的最小者，而圆心恰好在其中一条直线上，所以$r$的最小值不存在．