2014年华中科技大学理科实验班选拔试题—数学

一、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）

1、设$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，则$n$重复合函数$f_n(x)=f(f(\cdots f(x)\cdots))=$_______．

2、设多项式$p(x)$满足$p\left(x^2+1\right)=\left(p(x)\right)^2+1$和$p(0)=0$，则$p(x)=$_______.

3、设$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}$，则极限$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=$_______.

4、对$x>0$，函数$f(x)=\dfrac{\left(x+\dfrac1x\right)^6-\left(x^6+\dfrac1{x^6}\right)-2}{\left(x+\dfrac1x\right)^3+\left(x^3+\dfrac1{x^3}\right)}$的最小值为_______．

5、假设$20$名学生中的每一名学生可从提供的六门课程中选学一门至六门，也可以一门都不选．试判断下列命题是否正确：存在$5$名学生和两门课程，使得这$5$名学生都选了这两门课，或者都没选，选填“正确”或“否”_______．

二、（本题共14分）

1、若$a$为正整数而$\sqrt a$不为整数，证明：$\sqrt a$为无理数.

2、试证：除$0,0,0$外，没有其他整数$m,n,p$使得

$$m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.$$ 三、（本题共16分） 设$a,b,c$为三角形三边之长，$p=\dfrac{a+b+c}2$,$r$为内切圆半径，证明： $$\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}\geqslant\dfrac1{r^2}.$$

四、（本题共12分） 证明：设$m$是任一正整数，则$a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}$不是整数．

五、（本题共18分） 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$(拉马努金式子)，另一个是$\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1$(已知欧拉公式$\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha$)．

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参考答案

一、填空题

1、$\dfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}$．

2、$x$    提示    方程$p(x)-x=0$有无数个零点，于是$p(x)=x$．

3、$2$    提示    裂项为$\dfrac{2^k}{3^k-2^k}-\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}$．

4、$6$    提示    函数$f(x)=3\left(x+\dfrac 1x\right)$．

5、否    提示    $6$门课中选$3$门共有${\rm C}_6^3=20$种不同的组合，让每个同学分别选一种组合，那么任何两门课同时选和同时不选的同学数均为$4$．

二、略    

提示   均用反证法．

三、略    

提示    $pr=S$，而$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．

四、略

提示    设右边的公分母为

$$\left[2,3,4,\cdots,2^m\right]=2^m\cdot p,$$ 其中$p$是一个奇数，两边同时乘以公分母，则左边是偶数，而右边为奇数．

注一    利用这个方法可以证明$\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac 1i}$，其中$n\in\mathcal N^*$且$n\geqslant 2$均不是整数．另外，这个方法中从$2$的方幂出发也不是必须的．

注二    也可以两边同时乘以$\dfrac{[2,3,\cdots,2^m]}p$，其中$p$为右边各分母分解质因数后的最大奇素数因子，根据伯特兰-切比雪夫定理，含$p$的项唯一，进而即得．

五、$3:0$

提示    拉马努金恒等式，注意到

$$n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)},$$ 于是 $$\begin{split}3&=\sqrt{1+2\cdot 4}\\&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}\\&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}\\&=\cdots\end{split}.$$

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