一、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）
1、设\(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，则\(n\)重复合函数\(f_n(x)=f(f(\cdots f(x)\cdots))=\)_______．
2、设多项式\(p(x)\)满足\(p\left(x^2+1\right)=\left(p(x)\right)^2+1\)和\(p(0)=0\)，则\(p(x)=\)_______.
3、设\(S_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}\)，则极限\(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\)_______.
4、对\(x>0\)，函数\(f(x)=\dfrac{\left(x+\dfrac1x\right)^6-\left(x^6+\dfrac1{x^6}\right)-2}{\left(x+\dfrac1x\right)^3+\left(x^3+\dfrac1{x^3}\right)}\)的最小值为_______．
5、假设\(20\)名学生中的每一名学生可从提供的六门课程中选学一门至六门，也可以一门都不选．试判断下列命题是否正确：存在\(5\)名学生和两门课程，使得这\(5\)名学生都选了这两门课，或者都没选，选填“正确”或“否”_______．
二、（本题共14分）
1、若\(a\)为正整数而\(\sqrt a\)不为整数，证明：\(\sqrt a\)为无理数.
2、试证：除\(0,0,0\)外，没有其他整数\(m,n,p\)使得\[m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.\] 三、（本题共16分） 设\(a,b,c\)为三角形三边之长，\(p=\dfrac{a+b+c}2\),\(r\)为内切圆半径，证明：\[\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}\geqslant\dfrac1{r^2}.\]
四、（本题共12分） 证明：设\(m\)是任一正整数，则\(a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}\)不是整数．
五、（本题共18分） 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是\(\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}\)(拉马努金式子)，另一个是\(\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1\)(已知欧拉公式\(\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha\))． 
参考答案
一、填空题
1、\(\dfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}\)．
2、\(x\) 提示 方程\(p(x)-x=0\)有无数个零点，于是\(p(x)=x\)．
3、\(2\) 提示 裂项为\(\dfrac{2^k}{3^k-2^k}-\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\)．
4、\(6\) 提示 函数\(f(x)=3\left(x+\dfrac 1x\right)\)．
5、否 提示 \(6\)门课中选\(3\)门共有\({\rm C}_6^3=20\)种不同的组合，让每个同学分别选一种组合，那么任何两门课同时选和同时不选的同学数均为\(4\)．
二、略
提示 均用反证法．
三、略
提示 \(pr=S\)，而\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)．
四、略
提示 设右边的公分母为\[\left[2,3,4,\cdots,2^m\right]=2^m\cdot p,\]其中\(p\)是一个奇数，两边同时乘以公分母，则左边是偶数，而右边为奇数．
注一 利用这个方法可以证明\(\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac 1i}\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)且\(n\geqslant 2\)均不是整数．另外，这个方法中从\(2\)的方幂出发也不是必须的．
注二 也可以两边同时乘以\(\dfrac{[2,3,\cdots,2^m]}p\)，其中\(p\)为右边各分母分解质因数后的最大奇素数因子，根据伯特兰-切比雪夫定理，含\(p\)的项唯一，进而即得．
五、\(3:0\)
提示 拉马努金恒等式，注意到\[n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)},\]于是\[\begin{split}3&=\sqrt{1+2\cdot 4}\\&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}\\&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}\\&=\cdots\end{split}.\]