2016年北京大学博雅计划试题

选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．

1、直线$y=-x+2$与曲线$y=-\mathrm{e}^{x+a}$相切，则$a$的值为（        ）

A．$-3$

B．$-2$

C．$-1$

D．前三个答案都不对

2、已知三角形$ABC$的三边长分别为$a,b,c$，有以下$4$个命题：
（1）以$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$为边长的三角形一定存在；
（2）以$a^2,b^2,c^2$为边长的三角形一定存在；
（3）以$\dfrac{a+b}{2},\dfrac{b+c}{2},\dfrac{c+a}{2}$为边长的三角形一定存在；
（4）以$\left|a-b\right|+1,\left|b-c\right|+1,\left|c-a\right|+1$为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（        ）

A．$2$

B．$3$

C．$4$

D．前三个答案都不对

3、设$AB,CD$是圆$O$的两条垂直直径，弦$DF$交$AB$于点$E$，$DE=24,\ EF=18$，则$OE$等于（        ）
A．$4\sqrt{6}$

B．$5\sqrt{3}$

C．$6\sqrt{2}$

D．前三个答案都不对

4、函数 $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{p},&x=\dfrac qp,(p,q)=1,p,q\in\mathcal N^*,\\0,&x\notin \mathcal Q,\end{cases}$$ 则满足$x\in(0,1)$且$f(x)>\dfrac{1}{7}$的$x$的个数为（        ）

A．$12$

B．$13$

C．$14$

D．前三个答案都不对

5、若方程$x^2-3x-1=0$的根也是方程$x^4+ax^2+bx+c=0$的根，则$a+b-2c$的值为（        ）

A．$-13$

B．$-9$

C．$-5$

D．前三个答案都不对

6、已知$k\ne 1$，则等比数列$a+{\log_2}{k},\ a+{\log_4}{k},\ a+{\log_8}{k}$的公比为（        ）

A．$\dfrac{1}{2}$

B．$\dfrac{1}{3}$

C．$\dfrac{1}{4}$

D．前三个答案都不对

7、$\cos{\dfrac{\pi}{11}}\cos{\dfrac{2\pi}{11}}\cdots\cos{\dfrac{10\pi}{11}}$的值为（        ）

A．$-\dfrac{1}{16}$

B．$-\dfrac{1}{32}$

C．$-\dfrac{1}{64}$

D．前三个答案都不对

8、设$a,b,c$为实数，$a,c\ne 0$，方程$ax^2+bx+c=0$的两个虚数根$x_1,x_2$满足$\dfrac{x_1^2}{x_2}$为实数，则$\sum\limits_{k=0}^{2015}\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^k$等于（        ）

A．$1$

B．$0$

C．$\sqrt{3}\mathrm{i}$

D．前三个答案都不对

9、将$12$个不同物体分成$3$堆，每堆$4$个，则不同的分法种类为（        ）

A．$34650$

B．$5940$

C．$495$

D．前三个答案都不对

10、设$A$是以$BC$为直径的圆上的一点，$D,E$是线段$BC$上的点，$F$是$CB$延长线上的点，已知$BF=4$，$BD=2$，$BE=5$，$\angle BAD=\angle ACD$，$\angle BAF=\angle CAE$，则$BC$的长为（        ）

A．$11$

B．$12$

C．$13$

D．前三个答案都不对

11、两个圆内切于$K$，大圆的弦$AB$与小圆切于$L$，已知$AK:BK=2:5$，$AL=10$，则$BL$的长为（        ）

A．$24$

B．$25$

C．$26$

D．前三个答案都不对

12、$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的函数，且对任意实数$x$均有$2f(x)+f\left(x^2-1\right)=1$，则$f\left(-\sqrt{2}\right)$等于（        ）

A．$0$

B．$\dfrac{1}{2}$

C．$\dfrac{1}{3}$

D．前三个答案都不对

13、从一个正$9$边形的$9$个顶点中选$3$个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（        ）

A．$30$

B．$36$

C．$42$

D．前三个答案都不对

14、已知正整数$a,b,c,d$满足$ab=cd$，则$a+b+c+d$有可能等于（        ）

A．$101$

B．$301$

C、$401$

D．前三个答案都不对

15、三个不同的实数$x,y,z$满足$x^3-3x^2=y^3-3y^2=z^3-3z^2$，则$x+y+z$等于（        ）
A．$-1$

B．$0$

C．$1$

D．前三个答案都不对

16、已知$a+b+c=1$，则$\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}$的最大值与最小值的乘积属于区间（        ）

A．$\left[10,11\right)$

B．$\left[11,12\right)$

C．$\left[12,13\right)$

D．前三个答案都不对

17、在圆内接四边形$ABCD$中，$BD=6$，$\angle ABD=\angle CBD=30^\circ$，则四边形$ABCD$的面积等于（        ）

A．$8\sqrt{3}$

B．$9\sqrt{3}$

C．$12\sqrt{3}$

D．前三个答案都不对

18、$1!+2!+\cdots+2016!$除以$100$所得余数为（        ）

A．$3$

B．$13$

C、$27$

D．前三个答案都不对

19、方程组$\begin{cases}x+y^2=z^3,\\x^2+y^3=z^4,\\x^3+y^4=z^5\end{cases}$的实数解组数为（        ）

A．$5$

B．$6$

C．$7$

D．前三个答案都不对

20、方程$\left(\dfrac{x^3+x}{3}\right)^3+\dfrac{x^3+x}{3}=3x$的所有实根的平方和等于（        ）

A．$0$

B．$2$

C．$4$

D．前三个答案都不对

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参考答案

1-5        ABCDA

6-10     BDBDA

11-15    BCABD  

16-20   CBBCC

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