2015年清华大学金秋营试题

本试卷共六题，其中第1，2，3，4题每题15分，第5，6题每题20分．

1、给定正整数$n$，设实数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$；$x_1,x_2,\cdots ,x_n$；$y_1,y_2,\cdots ,y_n$满足 $$a\leqslant a_i\leqslant b,i=1,2,\cdots ,n,$$ 且 $$\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^ny_i^2=1,$$ 证明： $$\left|\sum_{i=1}^na_ix_i^2-\sum_{i=1}^na_iy_i^2\right|\leqslant 2(b-a)\sqrt{1-\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2}.$$

2、设凸五边形$A_1A_2A_3A_4A_5$的面积为$S$，三角形$\triangle A_5A_1A_2$，$\triangle A_1A_2A_3$，$\triangle A_2A_3A_4$，$\triangle A_3A_4A_5$，$\triangle A_4A_5A_1$的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$，$S_5$，证明：$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5>S$．

3、给定正整数$n$．设实数$x_1,x_2,\cdots ,x_n$满足 $$\forall i\neq j,\left|x_i-x_j\right|\geqslant 1,$$ 证明：所有$n^3$个表达式$x_ix_j+x_k$（其中$1\leqslant i,j,k\leqslant n$）至少能取到$\dfrac{n(n-1)}2$个不同的值．

4、设$a,b,n$与$\dfrac{n!}{a!b!}$都是正整数，证明 $$a+b<n+1+2{\log_2}n.$$

5、给定正整数$n$．称集合$\{1,2,\cdots ,n\}$的子集族$D$是“向下封闭”的，如果它满足如下条件：如果$A$是子集族$D$的成员，$B$是$A$的子集，则$B$也是$D$的成员．对于“向下封闭”的子集族（集合的一个子集族是指由若干个的子集所构成的集合），求表达式 $$\sum_{A\in D}(-1)^{|A|}$$ 所能取到的最大值．

6．设$p>5$是素数且$p\equiv 1\pmod 4$．对于整数$a$，如果存在整数$x$使得 $$x^2\equiv a\pmod p,$$ 则称$a$是“模$p$二次剩余的”．证明：对每个整数$a$，存在整数$b,c$，使得$a=b+c$且$b,c$都不是“模$p$二次剩余的”．