这是2014年北京市海淀区一模试题的压轴题：
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点），\(A(n):A_1,A_2,\cdots,A_n\)与\(B(n):B_1,B_2,\cdots,B_n\)，其中\(n\geqslant 3\)，若同时满足：
①点列的起点和终点分别相同；
②线段\(A_iA_{i+1}\perp B_iB_{i+1}\)，其中\(i=1,2,\cdots,n-1\)．则称\(A(n)\)与\(B(n)\)互为正交点列．
（1）求\(A(3):A_1(0,2),A_2(3,0),A_3(5,2)\)的正交点列；
（2）判断：\(A(4):A_1(0,0),A_2(3,1),A_3(6,0),A_4(9,1)\)是否存在正交点列\(B(4)\)，并说明理由．
（3）对于任意\(n\geqslant 5\)，\(n\in\mathcal N\)，是否都存在无正交点列的有序整点列\(A(n)\)？并证明你的结论．
（1）设\(B_2(x,y)\)，则
\[\begin{cases}(x,y-2)\cdot (3,-2)=0\\ (x-5,y-2)\cdot (2,2)=0\end{cases},\]
解得\[x=2\land y=5.\]
于是\(B(3):B_1(0,2),B_2(2,5),B_3(5,2)\)为所求．
（2）记\[A'(n):\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow {A_2A_3}\cdots,\overrightarrow{A_{n-1}A_n}.\]则
\[A'(4):(3,1),(3,-1),(3,1).\]
于是\[B'(4):\lambda_1(1,-3),\lambda_2(1,3),\lambda_3(1,-3).\]
式中\(\lambda_i\in\mathcal N,i=1,2,3\)．
因此\[\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=9\\-3\lambda_1+3\lambda_2-3\lambda_3=1.\]
矛盾！因此\(A(4):A_1(0,0),A_2(3,1),A_3(6,0),A_4(9,1)\)不存在正交点列\(B(4)\)．
（3）结论是肯定的，构造如下：
当\(n\)为偶数时，取
\[A_1(0,0),A'(n):(3,1),(3,-1),(3,1),(3,-1),\cdots,(3,1).\]
当\(n\)为奇数时，取
\[A_1(0,0),A'(n):(3,1),(3,-1),(3,1),(3,-1),\cdots,(3,1),(3,-2).\]
证明与（2）类似．
思路要点为：
① 当几何思路受挫时，果断转为代数分析，积极构造不变量\(\sum y_i\)；
② 由于\(\sum y_i=y_n-y_1\)，因此用横坐标控制\(\sum y_i\)为\(3\)的倍数，直接用首尾纵坐标之差控制\(y_n-y_1\)不是\(3\)的倍数即可．