解析几何试题中的条件转化

这次我们来看看2010年北京高考理科数学解析几何试题中的条件转化．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(B\)与\(A(-1,1)\)关于原点对称，\(P\)是动点，且直线\(AP\)与\(BP\)的斜率之积等于\(-\dfrac 13\)．

（1）求动点\(P\)的轨迹方程；

（2）设直线\(AP\)和\(BP\)分别与直线\(x=3\)交于点\(M\)，\(N\)，问：是否存在点\(P\)使得\(\triangle PAB\)与\(\triangle PMN\)的面积相等？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）动点\(P\)的轨迹方程为\[\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}{\dfrac 43}=1(x\neq\pm 1.\]

（2）关键条件\(\triangle PAB\)与\(\triangle PMN\)的面积相等有两种利用方式：

方式一，设点\(P\) 的横坐标为\(x_0\) ，则

\[\begin{split}\triangle PAB=\triangle PMN &\Leftrightarrow PA\cdot PB=PM\cdot PN\\&\Leftrightarrow \dfrac{PA}{PM}\cdot\dfrac{PB}{PN}=1\\&\Leftrightarrow \dfrac{x_0+1}{3-x_0}\cdot\dfrac{x_0-1}{3-x_0}=1\\&\Leftrightarrow x_0=\dfrac 53.\end{split}\]

方式二（由凌落蓝提供），设点\(M(3,m)\)，\(N(3,n)\)，则可以解得

\[m=4\cdot\dfrac{y_0-1}{x_0+1}+1,n=2\cdot\dfrac{y_0+1}{x_0-1}-1.\]

而根据题意

\[\begin{split}\triangle PAB=\triangle PMN &\Leftrightarrow k_{AN}=k_{BM}\\&\Leftrightarrow \dfrac{m+1}2=\dfrac{n-1}4\\&\Leftrightarrow 2\cdot\dfrac{y_0-1}{x_0+1}+1=\dfrac 12\cdot\dfrac{y_0+1}{x_0-1}-\dfrac 12\\&\Leftrightarrow y_0=-x_0\lor x_0=\dfrac 53.\end{split}\]

以下略．