答spring问

已知函数$f(x)=3x^2+1$，$g(x)=2x$，数列$\left\{a_n\right\}$满足对于一切$n\in\mathcal N^*$有$a_n>0$，且$f\left(a_n+1\right)-f\left(a_n\right)=g\left(a_{n+1}+\dfrac 32\right)$．数列$\left\{b_n\right\}$满足$b_n={\log_{a_n}}a$，设$k,l\in\mathcal N^*$，$b_k=\dfrac 1{1+3l}$，$b_l=\dfrac 1{1+3k}$．

（1）求证：数列$\left\{a_n\right\}$为等比数列，并指出公比；

（2）若$k+l=9$，求数列$\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（3）若$k+l=M_0$（$M_0$为常数），求数列$\left\{a_n\right\}$从第几项起，后面的项都满足$a_n>1$．

（1）根据题意，有 $$3\left(a_n+1\right)^2+1-\left(3a_n^2+1\right)=2a_{n+1}+3,$$ 整理得 $$a_{n+1}=3a_n,$$ 于是数列$\left\{a_n\right\}$为等比数列，且公比为$3$．

（2）由于$b_n={\log_{a_n}}a$，于是 $$\dfrac{1}{b_n}={\log_a}a_n$$ 为公差为${\log_a}3$的等差数列，记$d={\log_a}3$，并设$b_n=b+nd$，则根据题意有 $$\begin{cases}b+kd=1+3l,\\b+ld=1+3k,\end{cases}$$ 两式相减得 $$d(k-l)=3l-3k,$$ 于是 $$d=-3,$$ 两式相加得 $$2b+d(k+l)=2+3(k+l),$$ 于是 $$b=3(k+l)+1=28,$$ 因此$b_n=\dfrac{1}{28-3n}$．

（3）与（2）类似，可以求得 $$d=-3,b=3M_0+1,$$ 于是可知$0<a<1$，因此$a_n>1$即 $$\dfrac{1}{b_n}={\log_a}a_n<0,$$ 因此可得当$-3n+3M_0+1<0$时，也就是从第$M_0+1$项起，后面的项都满足$a_n>1$．