2015年高考数学新课标I卷（理科）解析几何大题

2015年高考数学新课标I卷（理科）解析几何大题（第20题）：

在直角坐标系$xOy$中，曲线$C:y=\dfrac{x^2}{4}$与直线$l:y=kx+a(a>0)$交于$M,N$两点．

（1）当$k=0$时，分别求$C$在点$M$和$N$处的切线方程；

（2）$y$轴上是否存在点$P$，使得当$k$变动时，总有$\angle OPM=\angle OPN$？说明理由．

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解    （1）当$k=0$时，点$M$、$N$的横坐标为$\pm 2\sqrt a$，进一步可得所求的切线方程为

$$y=\pm\sqrt ax-a.$$

（2）存在，点$P$的坐标为$(0,-a)$，证明如下．

设$M\left(m,\dfrac{m^2}{4}\right)$，$N\left(n,\dfrac{n^2}{4}\right)$．联立直线与抛物线方程有

$$x^2-4kx-4a=0,$$ 于是 $$m+n=4k,mn=-4a.$$ 此时直线$OM$的斜率为 $$\dfrac{\dfrac{m^2}{4}-(-a)}{m-0}=\dfrac m4+\dfrac am,$$ 同理直线$ON$的斜率为 $$\dfrac n4+\dfrac an,$$ 这两条直线的斜率之和为 $$\dfrac{m+n}{4}+\dfrac{a(m+n)}{mn}=0,$$ 因此直线$OM$与直线$ON$关于$y$轴对称，也就有$\angle OPM=\angle OPN$，且与$k$的取值无关．