2015年高考数学新课标I卷（理科）压轴题

2015年高考数学新课标I卷（理科）压轴题（第21题）：

已知函数$f(x)=x^3+ax+\dfrac 14$,$g(x)=-\ln x$．

（1）当$a$为何值时，$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线；

（2）用$\min\{m,n\}$表示$m,n$中的最小值，设函数$h(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}(x>0)$，讨论$h(x)$零点的个数．

解    （1）根据已知，$f'(x)=3x^2+a$．若$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线，设切点横坐标为$t$，则有 $$\begin{cases}f(t)=0,\\f'(t)=0,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases}t^3+at+\dfrac 14=0,\\3t^2+a=0,\end{cases}$$ 解得 $$t=\dfrac 12,a=-\dfrac 34.$$ 所以当$a$的值为$-\dfrac 34$时，$x$轴为曲线$y=f(x)$的切线．

（2）情形一    当$a\geqslant 0$时，$f'(x)=3x^2+a>0$，于是$f(x)$单调递增．考虑到$f(0)=\dfrac 14>0$，于是$y=f(x)$与$y=g(x)$有唯一交点，且交点横坐标$p\in (0,1)$，如图．此时函数$h(x)$的零点个数为$1$．

情形二    当$-\dfrac 34<a<0$时，$f(x)$在$\left(0,\sqrt{\dfrac{-a}{3}}\right)$上单调递减，在$\left(\sqrt{\dfrac{-a}{3}},+\infty\right)$上单调递增，在极小值点$x=\sqrt{\dfrac{-a}{3}}$处的极小值 $$f\left(\sqrt{\dfrac{-a}{3}}\right)=\left(\sqrt{\dfrac{-a}{3}}\right)^3+a\cdot\sqrt{\dfrac{-a}{3}}+\dfrac 14=2\left[\dfrac 18-\left(\sqrt{\dfrac{-a}{3}}\right)^3\right]>0,$$ 此时$y=f(x)$与$y=g(x)$在$(0,1)$内有唯一交点，如图．此时函数$h(x)$的零点个数为$1$．

情形三    当$a=-\dfrac 34$时，与情形二类似，但此时极小值为$0$，如图．此时函数$h(x)$的零点个数为$2$．

情形四    当$-\dfrac 54<a<-\dfrac 34$时，与情形三类似，但此时极小值小于$0$，如图．此时函数$h(x)$的零点个数为$3$．

情形五    当$a=-\dfrac 54$时，与情形四类似，但此时$y=f(x)$与$y=g(x)$图象交于点$(1,0)$，如图．此时函数$h(x)$的零点个数为$2$．

情形六    当$a<-\dfrac 54$时，与情形五类似，但此时$y=f(x)$与$y=g(x)$图象交点横坐标大于$1$，如图．此时函数$h(x)$的零点个数为$1$．

综上，函数$h(x)$的零点个数为 $$\begin{cases}1,&a<-\dfrac 54\lor a>-\dfrac 34,\\2,&a=-\dfrac 54 \lor a=-\dfrac 34,\\3,&-\dfrac 54<a<-\dfrac 43.\end{cases}$$