一个三角不等式的证明

已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，$S$是$\triangle ABC$的面积，求证：$ab+bc+ca\geqslant 4\sqrt 3S$．

分析与解　考虑到 $$S=\dfrac 12ab\sin C=\dfrac 12bc\sin A=\dfrac 12ca\sin B,$$ 于是 $$LHS=\dfrac{2S}{\sin A}+\dfrac{2S}{\sin B}+\dfrac{2S}{\sin C},$$ 于是原不等式等价于 $$\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}+\dfrac{1}{\sin C}\geqslant 2\sqrt 3.$$ 事实上，根据柯西不等式，有 $$\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}+\dfrac{1}{\sin C}\geqslant \dfrac{9}{\sin A+\sin B+\sin C},$$ 再根据琴生不等式，有 $$\sin A+\sin B+\sin C\leqslant 3\sin\dfrac{A+B+C}3=\dfrac{3\sqrt 3}2,$$ 于是原不等式得证．

注　事实上，我们有 $$a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca\geqslant (abc)^{\frac 23}\geqslant 4\sqrt 3S.$$