2014年浙江卷解几大题

2014年高考浙江卷理科数学第21题，原题叙述稍嫌累赘，改写如下：

已知椭圆$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$以及圆$x^2+y^2=r^2(b<r<a)$，求该椭圆与圆公切线段的最大值．

如图，设椭圆与圆的公切线段为$AB$，切点分别为$A$ 、$B$．

设$A(a\cos \theta,b\sin \theta)$，则直线$AB$的方程为

$$\dfrac {x\cdot a\cos\theta}{a^2}+\dfrac {y\cdot b\sin\theta}{b^2}=1,$$

即

$$\dfrac {x\cos\theta}a+\dfrac {y\sin\theta}b=1.$$

于是直线$OB$的方程为

$$\dfrac {x\sin\theta}b-\dfrac {y\cos\theta}a=0.$$

因此线段$AB$的长即点$A$到直线$OB$的距离

$$\dfrac {\dfrac {a\cos\theta\cdot\sin\theta}b-\dfrac {b\sin\theta\cdot \cos \theta}a}{\sqrt {\left(\dfrac {\sin\theta}b\right)^2+\left(\dfrac {\cos\theta}a\right)^2}}=\dfrac {a^2-b^2}{\sqrt {\dfrac {a^2}{\cos^2\theta}+\dfrac {b^2}{\sin^2\theta}}}\leqslant a-b.$$

因此所求最大值为$a-b$．