与不等式相关的对数值估计

证明：$\ln\left(2+\sqrt 3\right)>3-\sqrt 3$．

分析与解　证明一　我们熟知当$x>1$时，$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}$，于是当$x>1$时，有 $$\ln \sqrt x>\dfrac{2\left(\sqrt x-1\right)}{\sqrt x+1},$$ 即 $$\ln x >\dfrac{4\left(\sqrt x-1\right)}{\sqrt x+1}.$$ 这样就有 $$\ln\left(2+\sqrt 3\right)>\dfrac{4\left(\sqrt{2+\sqrt 3}-1\right)}{\sqrt {2+\sqrt 3}+1}=\dfrac{ 4\left(\sqrt 3+1-\sqrt 2\right)}{\sqrt 3+1+\sqrt 2}.$$ 接下来我们用分析法证明 $$4\left(\sqrt 3+1-\sqrt 2\right)>\left(\sqrt 3+1+\sqrt 2\right)\left(3-\sqrt 3\right),$$ 即 $$2\sqrt 3+\sqrt 6>7\sqrt 2-4,$$ 也即 $$18+12\sqrt 2>114-56\sqrt 2,$$ 也即 $$17\sqrt 2=\sqrt{578}>\sqrt{576}=24.$$ 因此原命题得证．

证明二　只需要证明$\ln \left(2-\sqrt 3\right)<\sqrt 3-3$．考虑到$2-\sqrt 3\approx \dfrac{1}{\rm e}$，于是取$y=\ln x$在$x=\dfrac {1}{\rm e}$处的切线，有 $$\ln x<{\rm e}\left(x-\dfrac{1}{\rm e}\right)-1,$$ 从而有 $$\ln \left(2-\sqrt 3\right)<{\rm e}\left(2-\sqrt 3\right)-2<\left(\sqrt 3+1\right)\left(2-\sqrt 3\right)-2=\sqrt 3-3.$$ 因此原命题得证．