如图,已知四边形ABCD既有外接圆又有内切圆.设四边形的四边长分别为a,b,c,d,内切圆圆心到四个顶点的距离分别为a′,b′,c′,d′,内切圆半径为r.求证:sinA+sinB+sinC+sinD=8abcdra′b′c′d′(a+b+c+d).
分析与解 如图,设a=x+y,b=y+z,c=z+w,d=w+x,则考虑到△OAE与△COF相似,于是有tanA2=rx=zr,
类似的,有tanB2=ry=wr,
这样就有4abcdra′b′c′d′(a+b+c+d)=4r(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)√(x2+r2)(y2+r2)(z2+r2)(w2+r2)⋅2(x+y+z+w)=2(xr+yr)(yr+zr)(zr+wr)(wr+xr)√(xr)2+1⋅√(yr)2+1⋅√(zr)2+1⋅√(wr)2+1⋅(xr+yr+zr+wr)=4sin2A+B2⋅cos2A−B22sinA2cosA2+2sinB2cosB2=sinA+sinB,
又sinA+sinB+sinC+sinD=2(sinA+sinB),
因此原命题得证.
思考与总结 利用半角处理与内切圆相关的问题往往可以起到事半功倍的作用.