四边形的内接圆与外切圆

如图,已知四边形ABCD既有外接圆又有内切圆.设四边形的四边长分别为a,b,c,d,内切圆圆心到四个顶点的距离分别为a,b,c,d,内切圆半径为r.求证:sinA+sinB+sinC+sinD=8abcdrabcd(a+b+c+d).

屏幕快照 2016-08-30 下午12.05.18


分析与解 如图,设a=x+y,b=y+z,c=z+w,d=w+x,则考虑到OAECOF相似,于是有tanA2=rx=zr,

类似的,有tanB2=ry=wr,
这样就有4abcdrabcd(a+b+c+d)=4r(x+y)(y+z)(z+w)(w+x)(x2+r2)(y2+r2)(z2+r2)(w2+r2)2(x+y+z+w)=2(xr+yr)(yr+zr)(zr+wr)(wr+xr)(xr)2+1(yr)2+1(zr)2+1(wr)2+1(xr+yr+zr+wr)=4sin2A+B2cos2AB22sinA2cosA2+2sinB2cosB2=sinA+sinB,
sinA+sinB+sinC+sinD=2(sinA+sinB),
因此原命题得证.

思考与总结 利用半角处理与内切圆相关的问题往往可以起到事半功倍的作用.

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