2016年上海卷理科数学填空压轴题

如图，在平面直角坐标系$Oxy$中，$O$为正八边形$A_1A_2\cdots A_8$的中心，$A_1(1,0)$．任取不同的两点$A_i,A_j$，点$P$满足$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\overrightarrow{0}$，则点$P$落在第一象限的概率是_______．

解  $\dfrac{5}{28}$．

任取不同的两点$A_i,A_j$的情况有${\rm{C}}_8^2=28$种，其中能使得点$P$落在第一象限的情况包括如下$5$种：$A_4,A_7$；$A_5,A_6$；$A_5,A_7$；$A_5,A_8$；$A_6,A_7$．所以点$P$落在第一象限的概率是$\dfrac{5}{28}$．