2016年北京卷理科数学导数大题

设函数$f(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx$，曲线$y=f(x)$在点$\left(2,f(2)\right)$处的切线方程为$y=(\mathrm{e}-1)x+4$．

(1)求$a,b$的值；

(2)求$f(x)$的单调区间．

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解  (1)$a=2,\ b=\mathrm{e}$．

(2)由(1)可知，

$$f(x)=x\mathrm{e}^{2-x}+\mathrm{e}x,\ f'(x)=\mathrm{e}\left[(1-x)\mathrm{e}^{1-x}+1\right].$$

考察函数$g(x)=x\mathrm{e}^x+1,\ x\in\mathcal{R}$，由于

$$g'(x)=\mathrm{e}^x(x+1),$$ 故$g(x)$的最小值为 $$g(-1)=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}>0,$$ 由此可知$f'(x)>0$．

所以$f(x)$在$\mathcal{R}$上单调递增．