2016年全国1卷理科数学解析几何大题

设圆$x^2+y^2+2x-15=0$的圆心为$A$，直线$l$过点$B(1,0)$且与$x$轴不重合，$l$交圆$A$于$C,D$两点，过$B$作$AC$的平行线交$AD$于点$E$．

(1) 证明：$|EA|+|EB|$为定值，并写出点$E$的轨迹方程；

(2) 设点$E$的轨迹为曲线$C_1$，直线$l$交$C_1$于$M,N$两点，过$B$且与$l$垂直的直线与圆$A$交于$P,Q$两点，求四边形$MPNQ$面积的取值范围．

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分析    第(1)小题利用几何知识证明$|EB|=|ED|$即可；第(2)小题是典型的面积问题，计算两个弦长$|MN|$和$|PQ|$即可．

解    (1) 将圆的方程化为标准方程

$$(x+1)^2+y^2=16.$$

由于$BE\parallel AC$，于是$\angle EBD=\angle ACD$．又$AC=AD$，于是$\angle ACD=\angle ADC$，因此$\angle EBD=\angle EDB$，从而$|EB|=|ED|$，这样就得到了

$$|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|$$ 为定值$4$．根据椭圆的定义，点$E$的轨迹方程为 $$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1(y\neq 0).$$

(2) 设$\angle MBA=\theta$($\theta \in (0,\pi)$)，则在$\triangle MAB$中应用余弦定理，有

$$|MA|^2=|MB|^2+|AB|^2-2\cdot |MB|\cdot |AB|\cdot\cos\theta,$$ 结合$|MA|+|MB|=4$可解得 $$|MB|=\dfrac{3}{2-\cos\theta}.$$

类似的，可得

$$|NB|=\dfrac{3}{2+\cos\theta},$$ 从而 $$|MN|=|MB|+|NB|=\dfrac{12}{4-\cos^2\theta}.$$ 此时直线$PQ$的方程为 $$x\cos\theta =y\sin\theta +\cos\theta,$$ 于是圆的弦长 $$|PQ|=2\sqrt{4^2-\left(\dfrac{2\cos\theta}{\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}}\right)^2}=4\sqrt{4-\cos^2\theta}.$$

于是可得四边形$MPNQ$的面积

$$S=\dfrac 12\cdot |MN|\cdot |PQ|=\dfrac{24}{\sqrt{4-\cos^2\theta}},$$ 于是四边形$MPNQ$的面积的取值范围是$[12,8\sqrt 3)$．