关于斜二测画法的有趣问题

        斜二测画法是立体图形直观图的一种重要画法，也是中学阶段第一次接触坐标变换的地方．在斜二测画法中有两个有趣的问题值得研究：其一是关于斜二测画法前后角的大小和线段的长度改变的问题，该问题可以用来复习连续函数的介值定理；其二是圆的斜二测画法对应图形是什么的问题，这对以后学习圆锥曲线以及线性变换矩阵都是有助益的．

       

•         如图，正方形$ABCD$在斜二测画法之后变成了平行四边形$A'B'C'D'$．根据斜二测画法的作法可知，$\angle A'=45^\circ$．我们发现$\angle A$变小了，$\angle B$变大了，那么问题来了：会不会存在某个角，它在斜二测画法之后保持不变呢？如果存在，请找到一个符合条件的角．

        这个问题比较简单，根据连续函数的介值定理，这样的角一定存在．事实上，取$P\left(1,1-2\sqrt 2\right)$，则$\angle POx$就是满足条件的一个角．

        接下来可以分析线段长度的变化：$AB$长度不变，$AD$变短了．那么会不会存在某条线段，它在斜二测画法之后反倒变长了呢？

        答案也是肯定的．由斜二测画法的作法，有坐标变换

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & \dfrac {\sqrt 2}4\\ 0 & \dfrac {\sqrt 2}4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$$

        在此基础上，只需要一些简单的代数变形就可以得到符合题意的线段．事实上，取$Q\left(\cos\dfrac {\pi}8,\sin \dfrac {\pi}8\right)$，则线段$OQ$就是满足条件的一条线段．

•         在斜二测画法中，线段长度的比例保持不变，因此可以看成是一种仿射变换．由于二次曲线在仿射变换下保持不变，因此圆的斜二测画法对应的图形应该是椭圆．

        接下来，让我们通过坐标变换来研究一下圆$x^2+y^2=1$经过斜二测画法之后的曲线到底长什么样？

        由斜二测画法坐标变换得

$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\0& 2\sqrt 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}.$$

因此新的曲线方程为

$$(x'-y')^2+8{y'}^2=1,$$ 即 $${x'}^2-2x'y'+9{y'}^2=1.$$

我们作旋转变换

$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix},$$

可得

$$(\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+9\sin^2\theta)s^2+(2\sin\theta\cos\theta+2\sin^2\theta-2\cos^2\theta-18\cos\theta\sin\theta)st+(\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+9\cos^2\theta)t^2=1.$$

令交叉项系数为$0$，解得

$$\tan\theta=4\pm\sqrt {17}.$$

我们知道，这两个角分别使得椭圆的焦点在不同的轴上，因此取较小的

$$\arctan (4-\sqrt {17})\approx 7.018^\circ.$$

        这样我们就得到了圆的斜二测画法对应图形为椭圆，并且椭圆的长轴与水平方向成约$7$度的角．什么？有人问离心率？好吧，我对这个不感兴趣，感兴趣的同学可以自己算算．另外我想说的是，既然椭圆的长轴并不在水平方向上，那么之前关于斜二测画法对线段长度产生影响的题目又有一个新解法了．

        最后补充一点，斜二测画法对面积的影响为前后面积之比为$2\sqrt2:1$，可以由

$$\begin{vmatrix}1 & \dfrac {\sqrt 2}4\\ 0 & \dfrac {\sqrt 2}4\end{vmatrix}=\dfrac {\sqrt 2}4$$

得到．

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2015年1月16日补充：

对于形如$Ax^2+By^2=C$的二次曲线，经过斜二测画法后，再逆时针旋转$\theta$角就可以保持$Ax^2+By^2=C$的形式，其中$\theta$满足

$$\tan 2\theta=\frac A{4B}.$$