2014年安徽卷理科数学压轴题

2014年高考安徽卷理科数学第21题（压轴题）：

设实数$c>0$，整数$p>1$，$n\in {\bf N}^*$．

(1) 证明：当$x>-1$，且$x\neq 0$时，$(1+x)^p>1+px$．

(2) 数列$\{a_n\}$满足$a_1>c^{\frac 1p}$，$a_{n+1}=\dfrac {p-1}p a_n+\dfrac cp a_n^{1-p}$．证明：$a_n>a_{n+1}>c^{\frac 1p}$．

(1) 用数学归纳法证明．

当$p=2$时，命题显然成立；

若命题对$p(p\geqslant 2)$成立，则命题在$p+1$时

$$(1+x)^{p+1}>(1+px)(1+x)=1+(p+1)x+px^2\geqslant 1+(1+p)x.$$

于是原命题得证．

(2) 用数学归纳法证明$a_n>c^{\frac 1p}$．

当$n=1$时，命题显然成立；

若命题对$n$成立，则命题在$n+1$时

$$\begin{split}a_{n+1}>c^{\frac 1p} &\Leftarrow\dfrac {p-1}p a_n+\dfrac cp a_n^{1-p}>c^{\frac 1p}\\&\Leftarrow \dfrac 1p\left(\underbrace {a_n+a_n+\cdots a_n}_{p-1}+\dfrac c{a_n^{p-1}}\right)>c^{\frac 1p}\\&\Leftarrow A-G-Inequation.\end{split}$$

在$a_n>c^{\frac 1p}$的基础上有

$$\begin{split}a_{n+1}-a_n&=\dfrac {p-1}p a_n +\dfrac cp a_n^{1-p}-a_n\\&=-\dfrac 1p a_n+\dfrac cp a_n^{1-p}\\&=\dfrac 1p a_n \left(\dfrac c{a_n^p}-1\right)<0.\end{split}$$

因此原命题得证．

标准答案中做了变形 $$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}=1+\dfrac 1p\left(\dfrac c{a_n^p}-1\right),$$ 进而 $$\left(\dfrac {a_{n+1}}{a_n}\right)^p>1+p\cdot\dfrac 1p\left(\dfrac c{a_n^p}-1\right) = \dfrac c{a_n^p},$$ 于是有 $$a_{n+1}>c^{\frac 1p}.$$