每日一题[277]的另解

编者按    本文作者为赵晚龙（山西省介休一中），由意琦行编辑（稍作修改），原每日一题地址为《每日一题[277] 一体三化》．原文中的三种方法均是通过将核心条件转化为边关系，而本文另辟蹊径，直接将核心条件与欲求参数通过角联结起来．

2014年湖南省十三校联考二模试题（原题为选择题）：

已知$G$是$\triangle ABC$的重心，且$AG\perp BG$，$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\lambda }{\tan C}$，则实数$\lambda=$_______．

如图，记$\angle EAG=\alpha$，$\angle GAB=\beta$，$\angle GBA=\gamma$，则 $$\tan\alpha=\dfrac{EG}{AG}=\dfrac 12\cdot\dfrac{GB}{AG}=\dfrac 12\tan\beta,$$ 记$\tan\beta =t$，则 $$\tan A=\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{3t}{2-t^2}.$$

注意到$\beta+\gamma=90^\circ$，于是类似的可得 $$\tan B=\dfrac{3\cdot \frac {1}{t}}{2-\left(\frac {1}{t}\right)^2}=\dfrac{3t}{2t^2-1}.$$

另一方面，有 $$\begin{split} \lambda&=-\tan(A+B)\cdot \left(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}\right)\\&=-\dfrac{\left(\tan A+\tan B\right)^2}{\tan A\cdot\tan B\cdot\left(1-\tan A\cdot \tan B\right)},\end{split}$$ 将$\tan A$和$\tan B$的值代入运算得 $$\lambda =\dfrac 12.$$