定点到圆锥曲线的距离最值问题

编者按    原文作者为文天庆，由意琦行修订和编辑．

平面上的定点到圆锥曲线上的动点的距离的最大值与最小值问题是在平面解析几何中的一类常见问题．此类问题一般都是利用圆锥曲线的参数方程将距离表示为单变量函数，然后转化为函数的最值问题加以研究，本文就此类问题给出一个一般性的结论：

引理    圆锥曲线上的动点$M$到平面上的定点$P$的距离取得最大值或最小值时，$M$处的切线与直线$PM$垂直．

证明    这个结论对于圆显然成立．

设$P\left(x_0,y_0\right)$．不失一般性，我们只需要证明命题对标准的圆锥曲线方程$C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$、$C_2:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中$a,b>0$、以及$C_3:y^2=2px$，其中$p>0$均成立即可．

下面证明命题对椭圆成立．

设$M\left(a\cos t,b\sin t\right)$，记$PM^2=f(t)$，则

$$f(t)=\left(a\cos t-x_0\right)^2+\left(b\sin t- y_0\right)^2,$$ 于是其导函数 $$f'(t)=2\left(a\cos t-x_0\right)\cdot \left(-a\sin t\right)+2\left(b\sin t -y_0\right)\cdot \left(b\cos t\right),$$ 于是该函数的极值点对应的参数$t$满足 $$\dfrac{b\sin t-y_0}{a\cos t-x_0}·\left(-\dfrac{b\cos t}{a\sin t}\right)=-1,$$ 因此只需要证明在$M\left(a\cos t,b\sin t\right)$处的切线斜率为$-\dfrac{b\cos t}{a\sin t}$即可．

事实上，我们熟知点$M\left(a\cos t,b\sin t\right)$处的切线方程为

$$\dfrac{a\cos t\cdot x}{a^2}+\dfrac{b\sin t\cdot y}{b^2}=1,$$ 于是切线斜率恰为$-\dfrac{b\cos t}{a\sin t}$，于是命题对椭圆成立．

双曲线和抛物线的情形的证明留给读者．

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例    已知定点$P\left(0,\dfrac 13\right)$以及椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$上的动点$M$，求$PM$的最大值与最小值．

解    设$M\left(x_0,y_0\right)$，则点$M$处的切线为

$$\dfrac{x_0x}{4}+\dfrac{y_0y}{3}=1,$$ 根据引理，极值位置可能有两类．

第一类，当$x_0=0$时，此时$M\left(0,\pm\sqrt 3\right)$，对应的$PM$的值为$\sqrt 3+\dfrac 13\approx 2.065$以及$\sqrt 3-\dfrac 13\approx 1.399$；

第二类，当$x_0\neq 0$时，极值位置坐标满足

$$-\dfrac{3x_0}{4y_0}\cdot\dfrac{y_0-\frac 13}{x_0}=-1,$$ 解得 $$y_0=-1,$$ 对应的$M\left(\pm\dfrac{2\sqrt 6}3,-1\right)$，对应$PM$的值为$\dfrac{2\sqrt{10}}3\approx 2.108$．

综上可得，$PM$的最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}3$，此时$M\left(\pm \dfrac{2\sqrt 6}3,-1\right)$；最小值为$\sqrt 3-\dfrac 13$，此时$M\left(0,\sqrt 3\right)$．