非截长补短思想

已知，如图$BD\perp AC$，$\angle AEC=45^\circ$，$BD=2CE$，$DE\parallel BC$，求证$CE=AC+AD$．

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解作$CF\perp AB$交$AB$于点$F$． 设$CE=a$，$AD=x$，所以

$$BD=2a,EF=CF=\dfrac{\sqrt 2}{2}a.$$ 因为$\triangle CAF\backsim \triangle BAD$， 所以 $$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{CF}{BD}=\dfrac{\sqrt 2}{4},$$ 所以 $$AF=\dfrac{\sqrt 2}{4}x,AC=\sqrt{\dfrac 18x^2+\dfrac 12a^2}.$$ 因为$DE\parallel BC$，所以 $$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB},$$  所以 $$\begin{split} AD & =\dfrac{AC}{AB}\times AE\\ &=\dfrac{\sqrt 2}{4}(EF+AF)\\ &=\dfrac{\sqrt 2}{4}(\dfrac{\sqrt 2}{2}a+\dfrac{\sqrt 2}{4}x)\\ &=x.\end{split}$$ 解得 $$x=\dfrac 27a,AC=\dfrac 57 a.$$ 所以 $$CE=AD+AC.$$