利用函数研究数列单调性的常见误区

数列是定义域离散化的函数，因此我们常常利用数列的通项公式对应的函数研究数列的性质（尤其是数列的单调性）．但在使用这种方法研究数列的单调性时，一定需要时刻提醒自己注意数列的离散特性，否则容易进入以下两种新手常见的误区．

误区一     将函数的单调性等同于数列的单调性

例题1、数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n^2-tn+1,n\in \mathcal N^*$，若数列$\{a_n\}$为递增数列，求实数$t$的取值范围．

误解    题意等价为函数

$$f(x)=2x^2-tx+1$$ 在$x\geqslant 1$时单调递增，而函数$f(x)$的单调递增区间为$\left[\dfrac t4,+\infty\right)$，于是由 $$\dfrac t4\leqslant 1,$$ 解得 $$t\leqslant 4.$$

正解    当$n\geqslant 2\land n\in\mathcal N^*$时，数列$\{a_n\}$的阶差

$$\begin{split}\Delta a_n&=a_n-a_{n-1}\\&=2n^2-tn+1-\left[2(n-1)^2-t(n-1)+1\right]\\&=4n-(t+2),\end{split}$$ 于是题意等价为 $$\forall n\geqslant 2\land n\in \mathcal N^*,\Delta a_n>0$$ 于是解得$t<6$．

错因    如图，当$t=5.5$时，$f(x)$虽然不是在$x\geqslant 1$上的单调递增函数，但其对应的散点图，也即$n-a_n$的图象仍然是上升的．

小结    数列的通项公式对应的函数在某区间上存在单调性是数列在对应范围存在单调性的充分非必要条件．

误区二     将函数的最值等同于数列的最值

例题2、数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n=\dfrac{n-\sqrt{99}}{n-\sqrt{98}}$，$n\in\mathcal N^*$，请问数列$\{a_n\}$是否有最大项和最小项？如果有，请求出；如果没有，请说明理由．

误解    由于数列通项对应的函数

$$f(x)=\dfrac{x-\sqrt{99}}{x-\sqrt{98}}$$ 没有最值，于是数列$\{a_n\}$没有最值．

正解    如下图，由数列通项对应的函数

$$f(x)=\dfrac{x-\sqrt{99}}{x-\sqrt{98}}$$ 的图象离散化可以得到数列$n-a_n$的图象．

由图象知数列$\{a_n\}$中，$a_9$为最大项，$a_{10}$为最小项．

错因    数列的通项公式对应的函数没有最值并不能保证数列没有最大或最小项．

小结    数列的通项公式对应的函数有最大（小）值是数列有最大（小）项的既不充分也不必要条件．例题给出了不必要的情形，请读者给出不充分的例子．

参考答案    函数$f(x)=\sin x$有最大值和最小值，但$a_n=\sin n,n\in\mathcal N^*$既没有最大项也没有最小项．

练习    （云南师大附中2015届第7次月考理15文16）已知数列$\left\{a_n\right\}$，并且$a_n=\begin{cases}n^2-5xn+4,&n\leqslant 5,\\(x-23){\log_2}(n-4),&n>5,\end{cases}$$n\in\mathcal N^*$，若$\{a_n\}$是递减数列，则实数$x$的取值范围是_______．

参考答案    $\left(\dfrac 95,2\right)$．