函数单调性的桥梁作用

函数的单调性揭示的是自变量的大小关系与函数值的大小关系之间的联系，单调性在自变量与函数值之间架起了一座桥梁，单调性的应用集中在通过自变量的大小关系去比较函数值的大小，或者给出函数值的大小关系反推自变量的大小．

比如：已知$f(x)$是$\mathcal{R}$上的减函数，且$a+b\leqslant 0$，则下列各式成立的是(　　)
A．$f(a)+f(b)\leqslant 0$
B．$f(a)+f(b)\geqslant 0$
C．$f(a)+f(b)\leqslant f(-a)+f(-b)$
D．$f(a)+f(b)\geqslant f(-a)+f(-b)$

分析　在这个问题中，探索的是函数值的大小关系，我们知道的自变量的大小关系有$$a\leqslant -b,b\leqslant -a,$$所以可以得到$$f(a)\geqslant f(-b),f(b)\geqslant f(-a),$$将这两个不等式相加得到D正确．

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在实际问题中，为了增加难度，单调性有时会通过定义的变形形式，比如$$(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))>0$$给出，也有时会通过解析式给出（此时解析式只提供单调性，与具体形式无关），函数值上也可能会有障眼法，需要识别伪装，直达问题核心．

例题一　(1)设函数$f(x)=\dfrac {x+2}{x-1}$，若$f(t^2-t+2)-2<0$，则实数$t$的取值范围是_______；
(2)已知函数$f(x)=\dfrac {x+1}{|x|+1}$，则不等式$f(x^2-2x)<f(3x-4)$的解集是_________；
(3)已知$f(x)=\begin{cases}x^2,x\geqslant 0,\\-x^2,x<0,\end{cases}$若$f(3a-2)>4f(a)$，则$a$的取值范围是_______．

分析与解　(1)分离常数知$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减．由$2=\dfrac {x+2}{x-1}$解得$x=4$，即$$f(t^2-t+2)<2=f(4).$$又因为$t^2-t+2>1$，所以$t^2-t+2$与$4$在同一个单调区间$(1,+\infty)$内，由$f(x)$在此区间上单调递减知$t^2-t+2>4$，解得$t>2$或$t<-1$．

(2)由函数的解析式知当$x>0$时，$f(x)=1$；
当$x\leqslant 0$时，$$f(x)=\dfrac {x+1}{1-x}=-1-\dfrac 2{x-1},$$所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增．从而题中不等式等价于$$\begin{cases} x^2-2x<0,\\x^2-2x<3x-4,\end{cases} $$解得$1<x<2$，故所求解集为$(1,2)$．

(3)题目条件给出的是函数值的大小关系，但多出一个系数$4$，由$f(x)$的解析式知$f(2x)=4f(x)$，所以题中不等式可转化为函数值的大小关系$$f(3a-2)>f(2a).$$下面我们来看$f(x)$的单调性，结合草图知$f(x)$在$\mathcal{R}$上单调递增，所以$3a-2>2a$，解得$a>2$．

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 对函数单调性的考查还常常与函数的奇偶性结合起来，此时因为函数图象具有某些对称性，所以只需要给出函数在部分区间上的单调性就可以得到函数整体的单调性．

例题二　(1)已知$f(x)=x^3+x$，$a,b,c\in\mathcal{R}$，且$a+b>0,b+c>0,c+a>0$，则$f(a)+f(b)+f(c)$的值的正负是_______．
(2)设$f(x)=\dfrac {x}{1+|x|}$，且$f(a)+f(2a-1)<0$，则实数$a$的取值范围是_________．
(3)$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的偶函数，在区间$(-\infty,0]$上单调递增，且有$f(2a+1)<f(3-a)$，则$a$的取值范围是__________．

分析与解　(1)由$f(x)$的解析式知$f(x)$是奇函数，且为增函数．
于是有$$a+b>0\Rightarrow a>-b\Rightarrow f(a)>f(-b)=-f(b)\Rightarrow f(a)+f(b)>0.$$类似知$$f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0,$$所以$f(a)+f(b)+f(c)$的值为正．

(2)由解析式知$f(x)$是奇函数，当$x\geqslant 0$时$$f(x)=\dfrac {x}{1+x}=1-\dfrac 1{1+x}$$单调递增，所以$f(x)$在$\mathcal{R}$上单调递增（想一想为什么？），于是有$$f(a)+f(2a-1)<0\Rightarrow f(a)<-f(2a-1)=f(1-2a)\Rightarrow a<1-2a\Rightarrow a<\dfrac 13.$$

(3)在同一个单调区间上，自变量的大小关系与函数值的大小关系才有对应．
由偶函数知$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减．但$2a+1,3-a$不一定在同一单调区间上，所以无法直接去掉$f$．
考虑到偶函数有性质$$f(x)=f(-x)=f(|x|),$$所以可以将题中不等式等价于$$f(|2a+1|)<f(|3-a|)\Rightarrow |2a+1|>|3-a|,$$两边平方解不等式得$a<-4$或$a>\dfrac 23$．

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由例题二我们可以总结一些常见的结论与处理方式：

(1)若奇函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，则它在$\mathcal{R}$上单调递增，且此时有$a+b>0$与$f(a)+f(b)>0$等价．

(2)若偶函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，则它在$(-\infty,0]$上单调递减，此时$f(a)>f(b)$等价于$|a|>|b|$．因为对偶函数来说$f(x)=f(|x|)$，这样就可以省去对自变量是否在同一单调区间内的讨论．

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奇偶函数的这些结论与处理方式都可以推广到一般的对称函数上去，注意此时我们需要比较的是自变量与对称轴或对称中心的距离远近（如果读者对函数的对称性还不太了解，建议先看方法技巧之《一招搞定对称性》）：

例题三　(1)函数$y=f(x-1)$为偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-1,+\infty)$，都有$$\dfrac {f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0,x_1\ne x_2$$成立，则$a=f(-2),b=f\left(-\dfrac 12\right),c=f(2)$由小到大的顺序为___________．
(2)已知函数$f(x)=ax^2+2ax+4,0<a<3$，若$x_1<x_2$，$x_1+x_2=1-a$，则$f(x_1)$与$f(x_2)$的大小关系是_______________；
(3)已知定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x+4)$，且当$x>2$时，$f(x)$单调递增，若$x_1+x_2<4$，$(x_1-2)(x_2-2)<0$，则$f(x_1)+f(x_2)$的值的正负是_______．

分析与解　(1)由题意知$f(x-1)=f(-x-1)$，所以$f(x)$有对称轴$x=-1$．又由题意知$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递减，所以自变量离对称轴越远，函数值越小．而$$|2-(-1)|>|-2-(-1)|>\left|-\dfrac 12-(-1)\right|,$$所以$c<a<b$．

(2)$f(x)$的图象是开口向上的抛物线，对称轴为$x=-1$．而$$\dfrac {x_1+x_2}{2}=\dfrac {1-a}{2}>-1,$$所以$x_2$离对称轴的距离更远．
这可以从两个角度得到：从图象角度，因为$x_1,x_2$的中点在对称轴右边，而$x_1<x_2$，所以$x_2$离对称轴更远；
从代数角度，有$$|x_2-(-1)|^2-|x_1-(-1)|^2=(x_2-x_1)(x_1+x_2+2)>0.$$注意$x_1,x_2$也可以在对称轴同一侧．
由$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增知，$f(x_2)>f(x_1)$．

(3)由题目条件知$f(x)$有对称中心$(2,0)$，且在$\mathcal{R}$上单调递增．由$(x_1-2)(x_2-2)<0$知$x_1,x_2$与$2$的大小关系不同，不妨设$x_1<x_2$，则有$x_1<2<x_2$．因为$x_1,x_2$的中点在对称中心左侧，结合图象知$f(x_1)+f(x_2)<0$．也可以由$$f(x_1)=-f(4-x_1)<-f(x_2)$$得到结论．

更多与例题三类似的问题见每日一题[74]寻找中心对称．

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最后给出两道练习：

练习一　(1)如果函数$f(x)$满足对任意的$x_1,x_2\in\mathcal{R}$，都有$$(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))<0(x_1\ne x_2)$$成立，且$f(a)>f(x+1)$在$x\in[1,2]$上恒成立，那么实数$a$的取值范围是_________．
(2)如果函数$f(x)=\sqrt{x-1}-\dfrac 1x$，且实数$a$满足$f(a^2-a)>\dfrac 12$，则$a$的取值范围是_________．

答案　(1)$a<2$，因为$a<x+1$对$x\in[1,2]$恒成立；

(2)$(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$．
因为$f(2)=\dfrac 12$，且$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增．

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练习二　(1)已知$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的奇函数，且在$[0,+\infty)$上单调递减，若$f(3x+1)+f(2)\geqslant 0$，则$x$的取值范围是_________；
(2)已知函数$f(x)=x^2+|x|$，且$f(2a-1)>f(a-2)$，则实数$a$的取值范围是________．

答案　(1)$(-\infty,-1]$；
(2)$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$．