一招搞定周期性

当两个数的和是定值时，对应的函数值相等——轴对称函数；当两个数的和为定值时，函数值的和也为定值——中心对称函数．
当两个数的差是定值时，对应的函数值相等，对应的函数有什么性质呢？
当两个数的差是定值时，对应的函数值的和或积是定值，对应的函数有什么性质呢？
这就是本篇要关注的周期性．

一、周期性
周期性是指当自变量相差一个确定的数时，对应的函数值相同，所以当$f$后面括号内的数相差为定值时，通常与周期性相关．如果$x$轴上相差为定值的两个数对应的函数值相等，那么这个函数是周期函数，这个差就是函数的一个周期．
比如：若$f(x+2)=f(x-2)$，则$f(x)$的周期为$4$；
若$f(-x+3)=f(-x-1)$，则$f(x)$的周期为$4$．（考虑差，就可以不被形式迷惑！）

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二、半周期
有时，我们会遇到相差为定值的两个数对应的函数值的和或积为定值的情形：

若定义在$\mathcal{R}$上的函数满足下列两个条件之一：
(1)$\forall x\in\mathcal{R},f(x+a)=-f(x),a\ne 0$；
(2)$\forall x\in\mathcal{R},f(x+a)=\dfrac {m}{f(x)},am\ne 0$；
那么$f(x)$是周期函数，且$2a$是此函数的一个周期．

简要证明　对于(1)有

$$f(x+2a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x);$$ 对于(2)有 $$f(x+2a)=\dfrac{m}{f(x+a)}=\dfrac {m}{\dfrac{m}{f(x)}}=f(x).$$ 我们称这样的表达为半周期的表达，得到的差为周期的一半．

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例题一　(1)定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x+1)=-f(x)$，且当$-1<x\leqslant 0$时，$f(x)=1$，则$f(101)=$______；
(2)已知$f(x)$满足$f(x+1)=-\dfrac {1}{f(x)}$，且当$x\in[0,1)$时，$f(x)=x+1$，若在区间$[-1,3]$内，函数$g(x)=f(x)-a$有$2$个零点，则实数$a$的取值范围是________．

分析与解　(1)这是一个半周期的表达，易知$f(x)$周期为$2$，所以有$f(101)=f(1)$．再在已知条件中令$x=0$即得

$$f(101)=f(1)=-f(0)=-1.$$ 半周期的表达中只需要给出半个周期即可得到整个定义域上的情况．

(2)$f(x)$的周期为$2$，$f(1)=-\dfrac {1}{f(0)}=-1$．当$x\in[-1,0)$时，$x+1\in[0,1)$，有

$$f(x)=-\dfrac {1}{f(x+1)}=-\dfrac 1{x+2},$$ 于是得到$f(x)$在$[-1,3]$上的图象如下：

题意即$y=f(x)$的图象与直线$y=a$在$[-1,3]$上有两个交点，所以

$$a\in\left(-1,-\dfrac 12\right )\cup[1,2).$$

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三、类周期性
还有一类函数的性质与周期类似，即自变量相差某个固定的常数时，函数值之间满足某种关系，我们称之为类周期性，比如：

$$f(x+T)=f(x)+m,g(x+T)=ng(x),\cdots$$ 其中$T\ne 0,n\ne 0$，$m,n$为常数．我们称$T$为$f(x)$的一个类周期．

说明　当$m=0$，$n=1$时，$f(x),g(x)$就是周期函数．当$n=-1$时，就是半周期的表达，$g (x)$的周期为$2T$．其它情况下，$f(x),g(x)$可能没有周期性．但对于类周期函数，我们仍然可以通过一个“类周期”上的情况得到整个定义域上的情况，可以将类周期理解成周期性$+$$y$方向上的平移或伸缩．

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例题二　设函数$f(x)=\begin{cases} 1-|x-1|,x<2,\\\dfrac 12f(x-2),x\geqslant 2\end{cases}$．则：
(1)$f(4)=$_____，$f(5)=$_____；
(2)$f(x)$在$[6,8)$上的解析式为________；
(3)方程$xf(x)-1=0$根的个数为_______．

分析与解　(1)由题意知

$$\begin{split} f(4)=&\dfrac 12f(2)=\dfrac 14f(0)=0,\\f(5)=&\dfrac 12f(3)=\dfrac 14f(1)=\dfrac 14.\end{split}$$ (2)由题意知 $$f(x)=\begin{cases}x,0\leqslant x<1,\\2-x,1\leqslant x<2.\end{cases}$$ 当$x\in[6,7)$时，$x-6\in[0,1)$，从而 $$\begin{split} f(x)=&\dfrac 12f(x-2)=\dfrac 14f(x-4)\\=&\dfrac 18f(x-6)=\dfrac 18(x-6).\end{split}$$ 当$x\in[7,8)$时，$x-6\in[1,2)$，从而 $$f(x)=\dfrac 18f(x-6)=\dfrac {2-(x-6)}{8}=1-\dfrac x8.$$ 综上知， $$f(x)=\begin{cases}\dfrac 18(x-6),x\in[6,7),\\\dfrac 18(8-x),x\in[7,8).\end{cases}$$ 也可以不去绝对值，采用统一的解析式，得到 $$f(x)=\dfrac 18\big[1-|x-7|\big],x\in[6,8).$$
(3)$f(x)$的图象可以这样得到：先画出$x<2$时，$f(x)$的图象；再将$[0,2)$上的图象根据周期性直接平移到$[2,4),[4,6),\cdots$各个区间上；最后分别在各个区间，保持横坐标不变，纵坐标变为原来的$\dfrac 12,\dfrac 14,\dfrac 18,\cdots$，如下（$x<0$时的图象略去）：方程的解的个数即$y=f(x)$图象与$y=\dfrac 1x$的图象的交点个数．我们分区间考虑：
①$x\in(-\infty,0]$时，有解$x=-1$；
②$x\in(0,1]$时，有解$x=1$；
③$x\in(1,2]$时，$2-x=\dfrac 1x$无解；
④$x\in(2,6]$时，因为 $$f(3)=\dfrac 12>\dfrac 13,f(5)=\dfrac 14>\dfrac 15,$$ 所以方程在$(2,6]$上有$4$个解；
⑤$x\in(6,+\infty)$时，因为 $$f(7)=\dfrac 18<\dfrac 17,$$ 所以方程无解．

综上知，方程的解的个数为$6$．
事实上，当$n\geqslant 3$时，$2^n>2n+1$，有

$$f(2n+1)=\dfrac {1}{2^n}<\dfrac 1{2n+1},$$ 所以当$x>2n$时，方程无解．

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四、双对称性与周期的关系
对称性与周期性也有关联，如果一个函数“双对称性”：即具有两条对称轴、两个对称中心或者一条对称轴与一个对称中心，那个这个函数具有周期性或类周期性．具体即：

(1)若$f(x)$有两条对称轴$x=m,x=n$，那么它是周期函数，且$2|m-n|$是它的一个周期；
(2)若$f(x)$有两个对称中心$(a,b),(c,d)$，那么它是类周期函数，且$2|a-c|$是它的一个类周期；当$b=d$时，这个类周期就是它的周期．
(3)若$f(x)$有对称轴$x=m$与对称中心$(a,b)$，那么它是周期函数，$4|a-m|$是它的一个周期．

简单证明　对于(1)有

$$\begin{split} &f(x)=f(2m-x)=f(2n-x)\\&\Rightarrow T=2|m-n|.\end{split}$$ 对于(2)有 $$\begin{split} &\begin{cases} f(x)+f(2a-x)=2b,\\f(x)+f(2c-x)=2d.\end{cases}\\&\Rightarrow f(2a-x)-f(2c-x)=2(b-d).\end{split}$$ 即 $$f(x+T)=f(x)+2(b-d),T=2(a-c),$$ 当$b=d$时，$f(x)$就是周期函数；
对于(3)有 $$\begin{split} &f(x)=f(2m-x)=2b-f(2a-x)\\&\Rightarrow f(x)+f(x+2a-2m)=2b,\end{split}$$ 这是半周期的表达，所以$f(x)$的周期为$4|a-m|$．

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例题三　(1)已知$f(x)$为偶函数，且$f(1+x)=f(3-x)$，当$-2\leqslant x\leqslant 0$时，$f(x)=3^x$，则$f(2017)=$______；
(2)已知函数$f(x+1)$是偶函数，且$f(x+2)$是奇函数，当$x\in[-1,0]$时，$f(x)=-x$，则$f(2016)+f(2017)=$______；
(3)设函数$f(x)$在$\mathcal{R}$上满足$f(2-x)=f(2+x)$，$f(7-x)=f(7+x)$，且在闭区间$[0,7]$上，只有$f(1)=f(3)=0$这两个零点，则函数$f(x)$在$[-10,10]$上的零点个数为_______．

分析与解　(1)由题意知$f(x)$有对称轴$x=2$与$x=0$，所以$f(x)$周期为$4$，有

$$f(2017)=f(1)=f(-1)=\dfrac 13.$$ (2)$f(x+1)$是偶函数，则$f(x+1)=f(-x+1)$（注意：偶函数即自变量取相反数时，函数值不变，自变量为$x$），所以$f(x)$有对称轴$x=1$；$f(x+2)$是奇函数，则$f(-x+2)=-f(x+2)$，$f(x)$有对称中心$(2,0)$；从而$f(x)$的周期为$4$．于是 $$\begin{split} &f(2016)=f(0)=0,\\&f(2017)=f(1)=-f(3)=-f(-1)=-1.\end{split}$$ 所以$f(2016)+f(2017)=-1$．
(3)由题意知$f(x)$有对称轴$x=2,x=7$，先考虑一个周期上的零点个数，所以需要确定在区间$(7,10]$上是否有零点．如果$f(x)$在$(7,10]$上有零点$m$，则$f(14-m)=f(m)=0$，而$14-m\in[4,7)$，与题意矛盾．所以函数$f(x)$在一个周期$[0,10]$上只有两个零点，且$10$不是零点．所以$f(x)$在$[-10,10]$上有$4$个零点．

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最后给出三道练习：

练习一　(1)设$f(x)$是$\mathcal{R}$上的奇函数，$f(2+x)=-f(x)$，当$0<x\leqslant 1$时，$f(x)=x$，则$f(7.5)=$______；
(2)定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)+f(x+5)=16$，当$x\in(-1,4]$时，$f(x)=x^2-2x$，则函数$f(x)$在$[0,2016]$上的零点个数是_______．

答案　(1)$-0.5$；(2)$404$．

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练习二　已知函数$f(x)=\begin{cases} x^2-2x,x<2,\\2f(x-2),x\geqslant 2.\end{cases}$
(1)则$f(5)=$______；
(2)当$x\in[2,4)$时，$f(x)=$_______；
(3)方程$f(x)+x=0$在区间$[0,8]$上的解的个数为______．

答案　(1)$f(5)=-4$；
(2)$f(x)=2(x-2)(x-4)$；(3)$4$．

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练习三　如果存在正实数$a$，使得$f(x-a)$为奇函数，$f(x+a)$为偶函数，我们称函数$f(x)$为“亲和函数”．则对于“亲和函数”$f(x)$，有下列说法：
①$f(x-a)=-f(a-x)$；
②$f(a-x)=f(x+a)$；
③$f(x)$的图象关于点$(a,0)$对称；
④$f(x)$是周期函数，$8a$是它的一个周期．
其中正确的序号为________．
答案　②④．

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总结　周期性相关问题抓住自变量的差，考虑好一个周期的情况后平移即可．